軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 25 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 10 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 14.96° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 14.96°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
直径 25 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 2.5 m の C にトルク 500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmT0 = 500 N·ma = 1.5 mb = 2.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
55 kN @ 3 m5 kN/m, 2–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 0 m55 kN @ 12 m40 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 100 mm、厚さ 20 mm、全高は 260 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 120 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 100 mmH = 260 mmtf = 20 mmtw = 6 mmM = 120 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 150 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 90 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaσY = 420 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの 3 等分点（各支点から L/3）に等しい集中荷重 P が 2 つ作用する。重ね合わせを用いてスパン中央のたわみ δmax を求めよ。
P = 24 kNL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1105 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 25·1000/113.1 = 221 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 221/200000 = 0.001105 = 1105 µε
答え
ε = 1105 µε
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.9362 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 10.39 MPa
σ2 = 88.42 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 10.39·1000/200000 = 0.05197 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 88.42·2000/200000 = 0.8842 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.9362 mm
答え
δ = 0.9362 mm
3.軸のねじり
答え: G = 39.01 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 14.96·π/180 = 0.2611 rad
横弾性係数
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981.7·0.2611) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
答え
G = 39.01 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 101.9 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·2.5/4 = 312.5 N·m
TB = 500·1.5/4 = 187.5 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·312500/(π·25³) = 101.9 MPa
答え
τmax = 101.9 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 3 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 32.5 kN, R2 = 32.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 32.5, MC = 65, MD = 95 kN·m, ME = 65, MF = 32.5, MG = 0
答え
点 D: MD = 95 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 10 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 78.75 kN, R2 = 66.25 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −100, MC = −42.5, MD = −65, ME = −87.5, MF = −110 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −110 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 11.45 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
ウェブ: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·132.5 + 2160·60)/8660 = 114.4 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·25³/12 + 6500·(132.5 − 114.4)² = 2.464 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 18·120³/12 + 2160·(60 − 114.4)² = 8.988 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.464 × 10⁶ + 8.988 × 10⁶ = 1.145 × 10⁷ mm⁴ = 11.45 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 11.45 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 247.4 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 260 − 2·20 = 220 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·260³ − 94·220³)/12
Ix = 6.306 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
y = 130 mm
σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·130/6.306 × 10⁷ = 247.4 MPa
答え
σmax = 247.4 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 79.15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 100 MPa, R = √(50² + 30²) = 58.31 MPa
σ1 = 158.3 MPa, σ2 = 41.69 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(116.6, 158.3, 41.69)/2 = 79.15 MPa
答え
τabs = 79.15 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.843
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 105 MPa, R = 42.72 MPa
σ1 = 147.7 MPa, σ2 = 62.28 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 147.7 MPa
n = 420/147.7 = 2.843
答え
n = 2.843
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.376 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.376 mm
答え
δmax = 1.376 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 59 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, L = 4000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
L/3 の位置の 1 つの荷重
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 29.5 mm
両方の荷重を足す
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 59 mm
答え
δmax = 59 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 16.82 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN
答え
Pcr = 16.82 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 1.079 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/12.5 = 800
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答え
σcr = 1.079 MPa
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