材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm500 mmØ25Ø30δ = 0.25 mm

棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
50 kN12500 mm200 mmØ20Ø40σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 400 N·m

中空軸がトルク 400 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 400 N·mdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = ?20 kW, 500 rpm

アルミニウム製の中実軸が 500 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
30 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 2 m50 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
4 kN/m35 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm300 mm105 mmØ50xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2203010020xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 150σy​ = 90τxy​ = 10MPa

ある点で σₓ = 150 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。

σx = 150 MPaσy = 90 MPaτxy = 10 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 40σy​ = 70τxy​ = 50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 40 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 20 kNABδ2 m4 m

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 20 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 m40 × 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 110 kNL = 4 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 110 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 110 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 17.63 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706.9) = 1.011 × 10⁻⁵ mm/N

荷重

P = 0.25/1.418 × 10⁻⁵ = 17631 N = 17.63 kN

答え

P = 17.63 kN
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 30.95 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 50000·439823/565487 = 38889 N

応力

σ2 = 38889/1257 = 30.95 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 30.95 MPa
3.軸のねじり

答え: do = 36.76 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0.6836)) = 36.76 mm
di = 0.75·36.76 = 27.57 mm

答え

do = 36.76 mm

中実軸なら d = 32.38 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 76.53 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

強度から決まる直径

T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·60)) = 31.89 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·381972/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 76.53 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(31.89, 76.53) = 76.53 mm

答え

d = 76.53 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 61.67 kN, R2 = 18.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 61.67, MC = 73.33 kN·m, MD = 55, ME = 36.67, MF = 18.33, MG = 0

答え

点 C: MC = 73.33 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 22.67 kN, R2 = 69.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −35, MC = −49.33, MD = −67.67, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

答え

点 E: ME = −90 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 333 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 1963·105)/(45000 − 1963) = 152.1 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·−2.053² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·−47.05² = 4.654 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 333 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 333 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 57.76 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
ウェブ: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·115 + 2000·50)/8600 = 99.88 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·30³/12 + 6600·(115 − 99.88)² = 2.003 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 20·100³/12 + 2000·(50 − 99.88)² = 6.643 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.003 × 10⁶ + 6.643 × 10⁶ = 8.647 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 99.88 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·99.88/8.647 × 10⁶ = 57.76 MPa

答え

σ下端 = 57.76 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σy′ = 90.59 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σy′ = 120 − 30·0.766 − 10·0.6428 = 90.59 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σx′ = 149.4 MPa, σx′ + σy′ = 240 = σx + σy

答え

σy′ = 90.59 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 105.8 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 55 MPa, R = 52.2 MPa
σ1 = 107.2 MPa, σ2 = 2.798 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(107.2² − 107.2·2.798 + 2.798²) = 105.8 MPa

答え

σvM = 105.8 MPa
11.はりのたわみ

答え: δP = 44.17 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 20000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·2000²·4000²/(3·1.61 × 10¹²·6000) = 44.17 mm

答え

δP = 44.17 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·11000·6.944) = 7.99 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 210.6 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2000² = 210552 N = 210.6 kN

答え

Pcr = 210.6 kN
14.柱の座屈

答え: d = 111.7 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 111.7 mm

答え

d = 111.7 mm

確認：細長比 KL/r は 143.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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