軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 1500 N·m が作用し、さらに 0.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 40 mmTB = 1500 N·mTC = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 0.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 20 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 8 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 97.5 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mm穴の中心: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm × 240 mm の板に、幅 50 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 84 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 240 mm切り欠き: 50 × 50 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 40 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 14 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2449 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·8482 = 7.351 × 10⁸ N
縮み
δ = 300000·600/7.351 × 10⁸ = 0.2449 mm
答え
δ = 0.2449 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 840 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 98.74 MPa
σ2 = 840 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 840 MPa
答え
σmax = 840 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 9.338 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·38350) = 0.163 rad
φ = 0.163·180/π = 9.338°
答え
φ = 9.338°
4.軸のねじり
答え: φC = 9.831 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 1500 = −1400 N·m
各区間のねじれ角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −1.4 × 10⁶·2500/(80000·251327) = −0.1741 rad
φBC = 100000·500/(80000·251327) = 0.002487 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.1741 + 0.002487 = −0.1716 rad → |φC| = 9.831°
答え
φC = 9.831°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 12.5 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 25 − 5·2.5 = 12.5 kN
答え
Vx = 12.5 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 67.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·3 + 4·8·4
RB = 188/8 = 23.5 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 23.5 = 28.5 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 28.5·3 − 4·3·1.5 = 67.5 kN·m
答え
Mx = 67.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 41.78 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (22500·75 − 706.9·97.5)/(22500 − 706.9) = 74.27 mm
ȳ まわりの全体の板
150·150³/12 + 22500·0.7298² = 42.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·30⁴/64 + 706.9·23.23² = 0.4212 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 41.78 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 41.78 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 226.5 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (48000·120 − 2500·84)/(48000 − 2500) = 122 mm
ȳ まわりの全体の板
200·240³/12 + 48000·−1.978² = 230.6 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
50·50³/12 + 2500·−37.98² = 4.127 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 226.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 226.5 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −15.48 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 50/58.31 = 0.8575, sin 2θs = −30/58.31 = −0.5145
2θs = atan2(−30, 50) = −30.96°
要素上の角度
θs = −15.48°
確認: θs − θp = −15.48 − 29.52 = −45°
答え
θs = −15.48°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −63.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −20 + 0·0.5 + −50·0.866 = −63.3 MPa
答え
σθ = −63.3 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 1.465 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 14000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1500²·2500²/(3·1.12 × 10¹³·4000) = 1.465 mm
答え
δP = 1.465 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 157.2 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·15) = 4.854 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·4.854 × 10⁷/150)1/3 = 157.2 mm
答え
hreq = 157.2 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 16.45 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2500² = 16449 N = 16.45 kN
答え
Pcr = 16.45 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 38.86 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
答え
σcr = 38.86 MPa
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