材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
80 kNØ25100 GPaØ120/60300 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø30110 GPaØ100/50400 mm

鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d1​ = 40 mmd2​ = 25 mmT = 500 N·mABC3 m1.2 m

鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 3 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。

T = 500 N·md1 = 40 mm, L1 = 3 md2 = 25 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 60 mm, di​ = 30 mm

中空軸が 1500 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 5 kN/mP = 50 kNAB断面3 m2 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 50 kN 位置 5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
55 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 12 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
140400208x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 20 mm、全高は 400 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

B = 140 mmH = 400 mmtf = 20 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm300 mm180 mm40 × 30xIx​ = ?

100 mm × 300 mm の板に、幅 40 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 180 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mm切り欠き: 40 × 30 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 80σy​ = 100τxy​ = −50MPa

ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 80 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −30σy​ = 20τxy​ = 60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −30 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = −30 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 20 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m30 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.02536 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·8482 = 9.464 × 10⁸ N

縮み

δ = 80000·300/9.464 × 10⁸ = 0.02536 mm

答え

δ = 0.02536 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 473.6 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5890 = 7.893 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0007273) = 0.0006 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0006·7.893 × 10⁸ = 473595 N = 473.6 kN

答え

Pmax = 473.6 kN
3.軸のねじり

答え: φC = 15.48 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

各区間のねじれ角

T = 500 N·m = 500000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 500000·3000/(80000·251327) = 0.0746 rad
φBC = 500000·1200/(80000·38350) = 0.1956 rad

全ねじれ角

φC = 0.0746 + 0.1956 = 0.2702 rad = 15.48°

答え

φC = 15.48°
4.軸のねじり

答え: τmax = 16.01 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

断面二次極モーメント

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 636620·30/1.193 × 10⁶ = 16.01 MPa

答え

τmax = 16.01 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −110 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −50·2 = −100 kN·m
w: −5·2²/2 = −10 kN·m
Mx = −100 − 10 = −110 kN·m

答え

Mx = −110 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 10 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 25 kN, R2 = 75 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 50, MC = 10, MD = −30, ME = −70, MF = −110 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −110 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 233.5 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 400 − 2·20 = 360 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·400³ − 132·360³)/12
Ix = 2.335 × 10⁸ mm⁴ = 233.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 233.5 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 223.8 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 1200·180)/(30000 − 1200) = 148.8 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·1.25² = 225 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·30³/12 + 1200·31.25² = 1.262 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 223.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 223.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = 84.35 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = −50/50.99 = −0.9806, sin 2θs = −(−10)/50.99 = 0.1961
2θs = atan2(10, −50) = 168.7°

要素上の角度

θs = 84.35°
確認: θs − θp = 84.35 − (−50.65) = 135°

答え

θs = 84.35°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 112.7 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −5 MPa, R = 65 MPa
σ1 = 60 MPa, σ2 = −70 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(60² − 60·(−70) + (−70)²) = 112.7 MPa

答え

σvM = 112.7 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 27.78 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 27.78 mm

答え

δmax = 27.78 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.636 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/3000² = 8636 N = 8.636 kN

答え

Pcr = 8.636 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 100.7 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

答え

σcr = 100.7 MPa

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