軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 1000 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 25 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 52.5 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mm穴の中心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 14 mm、高さ 230 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 290 × 20 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 150 × 14 mmウェブ: 12 × 230 mm下フランジ: 290 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 50 mm の中実軸が軸引張力 40 kNとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmF = 40 kNT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 32.05 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3.41 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/6.24 × 10⁻⁶ = 32052 N = 32.05 kN
答え
P = 32.05 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 7.75 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·274889/903208 = 15217 N
応力
σ2 = 15217/1963 = 7.75 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 7.75 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 17.54 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·251327) = 0.3061 rad
φ = 0.3061·180/π = 17.54°
答え
φ = 17.54°
4.軸のねじり
答え: d = 34.36 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
強度から決まる直径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·40)) = 26.32 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·143239/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 34.36 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(26.32, 34.36) = 34.36 mm
答え
d = 34.36 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 9.375 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 10·2.5 − 5·2.5·1.25 = 9.375 kN·m
答え
Mx = 9.375 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 73.33 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2 + 10·6·3
RB = 230/6 = 38.33 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 38.33 = 46.67 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 46.67·2 − 10·2·1 = 73.33 kN·m
答え
Mx = 73.33 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 32.94 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 1257·52.5)/(18000 − 1257) = 76.69 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·−1.689² = 33.8 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·−24.19² = 0.8609 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 32.94 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 32.94 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 113.7 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 2100 mm², y = 257 mm
ウェブ: A = 2760 mm², y = 135 mm
下フランジ: A = 5800 mm², y = 10 mm
図心
ȳ = (2100·257 + 2760·135 + 5800·10)/10660 = 91.02 mm
平行軸の定理
上フランジ: 150·14³/12 + 2100·166² = 5.789 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·230³/12 + 2760·43.98² = 1.75 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 290·20³/12 + 5800·81.02² = 3.827 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.789 × 10⁷ + 1.75 × 10⁷ + 3.827 × 10⁷
Ix = 1.137 × 10⁸ mm⁴ = 113.7 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 113.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 90.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−50 − 100)/2)² + −50²) = 90.14 MPa
答え
τmax = 90.14 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 82.12 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 40000/(π·50²/4) = 40000/1963 = 20.37 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81.49 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 10.19 MPa
R = √(10.19² + 81.49²) = 82.12 MPa
答え
τmax = 82.12 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 12.56 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 12.56 mm
答え
δmax = 12.56 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 8.68 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 8.68 mm
答え
δmax = 8.68 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 6.747 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·4000 = 8000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/8000² = 6747 N = 6.747 kN
答え
Pcr = 6.747 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 36.26 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/15 = 233.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/233.3² = 36.26 MPa
答え
σcr = 36.26 MPa
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