軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 0.5 m である。自由端 C にトルク 100 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 100 N·md1 = 60 mm, L1 = 0.5 md2 = 40 mm, L2 = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 100 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 750 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 100 N·mTC = 750 N·mAB = 2.5 mBC = 2 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 30 kN 位置 3 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
15 kN @ 0 m60 kN @ 12 m35 kN @ 6 m15 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 72 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 150 mm の板に、幅 80 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 80 × 20 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 10 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 4 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 64.17 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/6.234 × 10⁻⁶ = 64169 N = 64.17 kN
答え
P = 64.17 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 71.02 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 70000·706.9/300 = 164934 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·164934/328558 = 50199 N
応力
σ2 = 50199/706.9 = 71.02 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 71.02 MPa
3.軸のねじり
答え: φC = 0.35 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 100000·500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.001008 rad
φBC = 100000·500/(39000·251327) = 0.005101 rad
全ねじれ角
φC = 0.001008 + 0.005101 = 0.006109 rad = 0.35°
答え
φC = 0.35°
4.軸のねじり
答え: φC = 11.22 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 100 = 650 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 650000·2500/(26000·613592) = 0.1019 rad
φBC = 750000·2000/(26000·613592) = 0.09402 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.1019 + 0.09402 = 0.1959 rad → |φC| = 11.22°
答え
φC = 11.22°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −130 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −30·3 = −90 kN·m
w: −5·4²/2 = −40 kN·m
MA = −90 − 40 = −130 kN·m
答え
MA = −130 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 36.67 kN, R2 = 163.3 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −30, MC = −16.67, MD = −63.33, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0
答え
点 E: ME = −240 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 1257·72)/(28800 − 1257) = 122.2 mm
ȳ まわりの全体の板
120·240³/12 + 28800·−2.19² = 138.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·−50.19² = 3.291 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 1600·105)/(18000 − 1600) = 72.07 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·2.927² = 33.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
80·20³/12 + 1600·32.93² = 1.788 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 32.12 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 78.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((150 − 30)/2)² + 50²) = 78.1 MPa
答え
τmax = 78.1 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 13.47
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 20 MPa, R = 14.14 MPa
σ1 = 34.14 MPa, σ2 = 5.858 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 34.14 MPa
n = 460/34.14 = 13.47
答え
n = 13.47
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δ = 23.25 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·8.4 × 10¹¹) = 23.25 mm
答え
δ = 23.25 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 218 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·18) = 1.079 × 10⁸ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.079 × 10⁸/125)1/3 = 218 mm
答え
hreq = 218 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 83.93 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1750² = 83925 N = 83.93 kN
答え
Pcr = 83.93 kN
14.柱の座屈
答え: d = 33.94 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 33.94 mm
答え
d = 33.94 mm
確認：細長比 KL/r は 176.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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