材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mm銅2 mP = 10 kN

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 10 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mm鋼1.5 mØ 12 mm鋼1.5 mP = 110 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 110 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = 80, di​ = 48 mmT = 1000 N·mL = 1.5 m

アルミニウム製の中空軸（外径 80 mm、内径 48 mm、長さ 1.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·mdo = 80 mmdi = 48 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1.2 mb = 1.5 m

直径 25 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.2 m、B から 1.5 m の C にトルク 1500 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。

d = 25 mmT0 = 1500 N·ma = 1.2 mb = 1.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 6 kN/mAB断面2 m4 m

支点 A から x = 2 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 50 kNAB1.5 m2.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP = 50 kN 位置 1.5 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
280302808x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200230163301210x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 200 × 16 mm、高さ 330 mm・厚さ 10 mm のウェブ、下フランジ 230 × 12 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 200 × 16 mmウェブ: 10 × 330 mm下フランジ: 230 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −50σy​ = 110τxy​ = 60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
30°D = 500 mm, t = 8 mm, p = 3 MPap

内径 500 mm、肉厚 8 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 3 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。

D = 500 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 20 kN/mδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 110 kNL = 6 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 110 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 110 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 755.7 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/117000 = 0.0007557 = 755.7 µε

答え

ε = 755.7 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 972.6 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 155.6 MPa
σ2 = 972.6 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 972.6 MPa

答え

σmax = 972.6 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 0.9444 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

ねじれ角

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·3.5 × 10⁶) = 0.01648 rad
φ = 0.01648·180/π = 0.9444°

答え

φ = 0.9444°
4.軸のねじり

答え: φC = 18.68 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·1.5/2.7 = 833.3 N·m
TB = 1500·1.2/2.7 = 666.7 N·m

C の回転角

区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 833333·1200/(80000·38350) = 0.3259 rad = 18.68°

答え

φC = 18.68°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = 6 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18断面2 m4 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 18 − 6·2 = 6 kN

答え

Vx = 6 kN
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 56.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 5·4·2
RB = 115/4 = 28.75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 28.75 = 41.25 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 33.75 kN
V(1.5⁺) = 33.75 − 50 = −16.25 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 41.25·1.5 − 5·1.5²/2 = 56.25 kN·m

答え

Mmax = 56.25 kN·m

それは A から x = 1.5 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 57.75 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
ウェブ: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 2240·140)/10640 = 262.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·30³/12 + 8400·(295 − 262.4)² = 9.574 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·280³/12 + 2240·(140 − 262.4)² = 4.818 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.574 × 10⁶ + 4.818 × 10⁷ = 5.775 × 10⁷ mm⁴ = 57.75 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 57.75 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 205.8 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3200 mm², y = 350 mm
ウェブ: A = 3300 mm², y = 177 mm
下フランジ: A = 2760 mm², y = 6 mm

図心

ȳ = (3200·350 + 3300·177 + 2760·6)/9260 = 185.8 mm

平行軸の定理

上フランジ: 200·16³/12 + 3200·164.2² = 8.633 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·330³/12 + 3300·8.816² = 3.02 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 230·12³/12 + 2760·179.8² = 8.927 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.633 × 10⁷ + 3.02 × 10⁷ + 8.927 × 10⁷
Ix = 2.058 × 10⁸ mm⁴ = 205.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 205.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = 71.57 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·60, −50 − 110) = 143.1°

要素上の角度

θp = 71.57°

答え

θp = 71.57°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: |τn| = 20.3 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 3·250/8 = 93.75 MPa
σa = pr/(2t) = 46.88 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

|τn| = (93.75 − 46.88)·sin 30°·cos 30° = 20.3 MPa

答え

|τn| = 20.3 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 1.852 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.852 mm

答え

δmax = 1.852 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 167.4 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 167.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 167.4 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 27.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

答え

Pcr = 27.56 kN
14.柱の座屈

答え: d = 87.41 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 87.41 mm

答え

d = 87.41 mm

確認：細長比 KL/r は 137.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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