軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 120 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 2 m25 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
25 kN @ 0 m55 kN @ 6 m50 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 130 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 40 MPaσy = 100 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −30 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 17 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 106.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2.315 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/4.702 × 10⁻⁶ = 106331 N = 106.3 kN
答え
P = 106.3 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.865 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 95.49 MPa
σ2 = 382 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 95.49·2000/100000 = 1.91 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 382·500/200000 = 0.9549 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.865 mm
答え
δ = 2.865 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 7.662 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·38350) = 0.1337 rad
φ = 0.1337·180/π = 7.662°
答え
φ = 7.662°
4.軸のねじり
答え: d = 56.71 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·40)) = 56.71 mm
答え
d = 56.71 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 37.5 kN, R2 = 37.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 37.5, MC = 75 kN·m, MD = 62.5, ME = 50, MF = 37.5, MG = 0
答え
点 C: MC = 75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 42.5 kN, R2 = 87.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −25, MC = −7.5, MD = 10, ME = −22.5, MF = −55 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −55 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 64.39 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·275 + 3640·130)/8440 = 212.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·30³/12 + 4800·(275 − 212.5)² = 1.913 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·260³/12 + 3640·(130 − 212.5)² = 4.526 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.913 × 10⁷ + 4.526 × 10⁷ = 6.439 × 10⁷ mm⁴ = 64.39 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 64.39 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 98.27 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·100 − 1600·130)/(30000 − 1600) = 98.31 mm
ȳ まわりの全体の板
150·200³/12 + 30000·1.69² = 100.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·31.69² = 1.82 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 98.27 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 98.27 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 73.15 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·20, 40 − 100) = 146.3°
要素上の角度
θp = 73.15°
答え
θp = 73.15°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 13.04 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−15·0.9848 + −10·0.1736 = 13.04 MPa
答え
τθ = 13.04 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 25.25 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 25.25 mm
答え
δmax = 25.25 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 13.47 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 17000·2000³/(48·3.96 × 10¹¹) = 7.155 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 6.313 mm
足し合わせる
δmax = 7.155 + 6.313 = 13.47 mm
答え
δmax = 13.47 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 49.74 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1250² = 49743 N = 49.74 kN
答え
Pcr = 49.74 kN
14.柱の座屈
答え: d = 35.46 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 35.46 mm
答え
d = 35.46 mm
確認：細長比 KL/r は 197.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials