材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム2.5 mP = 10 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 10 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø25110 GPaØ100/60600 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d = ?T = 500 N·mL = 2 m

長さ 2 m の黄銅製の中実軸がトルク 500 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

T = 500 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1450 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 40 kN·mAB6 m4 m

単純ばりに、A から x = 6 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 40 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mM0 = 40 kN·m 時計回り、位置 6 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 30 kNAB1.5 m4.5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP = 30 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 150d = 122寸法の単位：mm

円管の外径は D = 150 mm、内径は d = 122 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 150 mmd = 122 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1403002214xM = 20 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 22 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 14 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 20 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。

B = 140 mmH = 300 mmtf = 22 mmtw = 14 mmM = 20 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 160σy​ = 120τxy​ = −60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 160 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
20°D = 1000 mm, t = 8 mm, p = 2.5 MPap

内径 1000 mm、肉厚 8 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 20° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。

D = 1000 mmt = 8 mmp = 2.5 MPaα = 20°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mABθ4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mAB4 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 4 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 m30 × 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1263 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/70000 = 0.001263 = 1263 µε

答え

ε = 1263 µε
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 473.5 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.001, 0.0007273) = 0.0007273 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0007273·6.511 × 10⁸ = 473524 N = 473.5 kN

答え

Pmax = 473.5 kN
3.軸のねじり

答え: d = 73.96 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

必要な断面二次極モーメント

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·2000/(39000·0.008727) = 2.938 × 10⁶ mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 73.96 mm

答え

d = 73.96 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

4.軸のねじり

答え: d = 32.25 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·75)) = 32.25 mm

答え

d = 32.25 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 16 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (上向き)
RA = −RB = −4 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −4·6 + 40 = 16 kN·m

答え

Mx = 16 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 62.02 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·1.5 + 8·6·3
RB = 189/6 = 31.5 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 31.5 = 46.5 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (46.5 − 30)/8 = 2.063 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1.5) − w·x0²/2 = 62.02 kN·m

答え

Mmax = 62.02 kN·m

それは A から x = 2.063 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 48.34 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 5982 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.398 × 10⁷ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.398 × 10⁷/5982) = 48.34 mm

答え

r = 48.34 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: σmax = 21.61 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 300 − 2·22 = 256 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·300³ − 126·256³)/12
Ix = 1.388 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 150 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·150/1.388 × 10⁸ = 21.61 MPa

答え

σmax = 21.61 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 63.25 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((160 − 120)/2)² + −60²) = 63.25 MPa

答え

τmax = 63.25 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σn = 147.1 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 2.5·500/8 = 156.3 MPa
σa = pr/(2t) = 78.13 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σn = 78.13·sin²20° + 156.3·cos²20° = 147.1 MPa

答え

σn = 147.1 MPa
11.はりのたわみ

答え: θA = 0.003509 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.003509 rad

答え

θA = 0.003509 rad

これは 0.201° です。

12.はりのたわみ

答え: RB = 15 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

答え

RB = 15 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 3.886 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/4000² = 3886 N = 3.886 kN

答え

Pcr = 3.886 kN
14.柱の座屈

答え: d = 170.3 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 170.3 mm

答え

d = 170.3 mm

確認：細長比 KL/r は 234.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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