材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム1 mP = 65 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 65 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mmアルミニウム1 mØ 12 mm銅1.5 mP = 105 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 105 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?10 kW, 1000 rpm

鋼製の中実軸が 1000 rpm で 10 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 35 kN·mAB2 m8 m

単純ばりに、A から x = 2 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 35 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mM0 = 35 kN·m 時計回り、位置 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
55 kN50 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m25 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 110d = 78寸法の単位：mm

円管の外径は D = 110 mm、内径は d = 78 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 110 mmd = 78 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
12026022360108x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 120 × 22 mm、高さ 360 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 260 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 120 × 22 mmウェブ: 8 × 360 mm下フランジ: 260 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −80σy​ = 30τxy​ = 20MPa

ある点で σₓ = −80 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = −80 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 50 mm の中実軸が軸引張力 20 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 50 mmF = 20 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 1.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 m50 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 75 kNL = 6 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 75 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 75 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 8210 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/113.1 = 574.7 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 574.7/70000 = 0.00821 = 8210 µε

答え

ε = 8210 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 928.4 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 148.5 MPa
σ2 = 928.4 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 928.4 MPa

答え

σmax = 928.4 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 8.081 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·613592) = 0.141 rad
φ = 0.141·180/π = 8.081°

答え

φ = 8.081°
4.軸のねじり

答え: d = 34.36 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

強度から決まる直径

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20.09 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·95493/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 34.36 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(20.09, 34.36) = 34.36 mm

答え

d = 34.36 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 28 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 35/10 = 3.5 kN (上向き)
RA = −RB = −3.5 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には RA と偶力が含まれます。

Mx = RA·a + M0 = −3.5·2 + 35 = 28 kN·m

答え

Mx = 28 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 68.75 kN, R2 = 61.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −82.5, MD = −55, ME = −77.5, MF = −100, MG = 0

答え

点 B: MB = −110 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 33.71 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 4725 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.37 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(5.37 × 10⁶/4725) = 33.71 mm

答え

r = 33.71 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 216.5 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2640 mm², y = 381 mm
ウェブ: A = 2880 mm², y = 190 mm
下フランジ: A = 2600 mm², y = 5 mm

図心

ȳ = (2640·381 + 2880·190 + 2600·5)/8120 = 192.9 mm

平行軸の定理

上フランジ: 120·22³/12 + 2640·188.1² = 9.355 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 8·360³/12 + 2880·2.862² = 3.113 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 260·10³/12 + 2600·187.9² = 9.178 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.355 × 10⁷ + 3.113 × 10⁷ + 9.178 × 10⁷
Ix = 2.165 × 10⁸ mm⁴ = 216.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 216.5 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = 35.01 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = 20/58.52 = 0.3417, sin 2θs = −(−55)/58.52 = 0.9398
2θs = atan2(55, 20) = 70.02°

要素上の角度

θs = 35.01°
確認: θs − θp = 35.01 − 80.01 = −45°

答え

θs = 35.01°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 46.15 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 20000/(π·50²/4) = 20000/1963 = 10.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40.74 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 5.093 MPa
R = √(5.093² + 40.74²) = 41.06 MPa
σ1 = C + R = 46.15 MPa
σ2 = C − R = −35.97 MPa

答え

σ1 = 46.15 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 14.06 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 14.06 mm

答え

δmax = 14.06 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4.167) = 2.157 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 21.57 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 514 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/2000² = 514042 N = 514 kN

答え

Pcr = 514 kN
14.柱の座屈

答え: d = 61.1 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.1 mm

答え

d = 61.1 mm

確認：細長比 KL/r は 196.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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