軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 30 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 5.47° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 30 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 5.47°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 1450 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 0 m35 kN @ 12 m35 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 300 mmM = 40 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 40 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 130 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaθ = 50°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 9 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 15 kNb = 1.5 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.4775 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0009549·500 mm = 0.4775 mm
答え
δ = 0.4775 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 10.5 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 40000·706858/952295 = 29691 N
応力
σ2 = 29691/2827 = 10.5 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 10.5 MPa
3.軸のねじり
答え: G = 80.02 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 5.47·π/180 = 0.09547 rad
横弾性係数
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(981.7·0.09547) = 80020 MPa
G = 80.02 GPa
答え
G = 80.02 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 5.768 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 329286·37.5/2.141 × 10⁶ = 5.768 MPa
答え
τmax = 5.768 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 4 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 5·4 − 2·4·2 = 4 kN·m
答え
Mx = 4 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 60 kN, R2 = 55 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −90, MC = −60, MD = −100, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
答え
点 E: ME = −140 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 46.55 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 200·15 = 3000 mm², yf = 260 + 15/2 = 267.5 mm
ウェブ: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·267.5 + 3120·130)/6120 = 197.4 mm
平行軸の定理
フランジ: 200·15³/12 + 3000·(267.5 − 197.4)² = 1.48 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·260³/12 + 3120·(130 − 197.4)² = 3.175 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.48 × 10⁷ + 3.175 × 10⁷ = 4.655 × 10⁷ mm⁴ = 46.55 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 46.55 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 25.4 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 300 + 25/2 = 312.5 mm
ウェブ: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7500·312.5 + 6000·150)/13500 = 240.3 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·25³/12 + 7500·(312.5 − 240.3)² = 3.951 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·300³/12 + 6000·(150 − 240.3)² = 9.39 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.951 × 10⁷ + 9.39 × 10⁷ = 1.334 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 325 − 240.3 = 84.72 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·84.72/1.334 × 10⁸ = 25.4 MPa
答え
σ上端 = 25.4 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 30.41 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((40 − 50)/2)² + 30²) = 30.41 MPa
答え
τmax = 30.41 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −96.74 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −100·0.9848 + −10·−0.1736 = −96.74 MPa
答え
τθ = −96.74 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 2.813 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 9000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·3500²·1500²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 2.813 mm
答え
δP = 2.813 mm
12.はりのたわみ
答え: δmid = 21.5 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·3.99 × 10¹²) = 21.5 mm
答え
δmid = 21.5 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 191 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2100² = 190976 N = 191 kN
答え
Pcr = 191 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 8.567 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答え
σcr = 8.567 MPa
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