材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウムでできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 50 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、黄銅でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 40 N·m でねじる。標点距離 400 mm の両端は互いに 2.24° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 40 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 2.24°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 300 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 6 m12 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 x_c を求めよ。

L = 6.5 mw = 10 kN/m（0 から 6.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m

x_c = m

7.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 130 × 18 mm、高さ 260 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 210 × 16 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 130 × 18 mmウェブ: 8 × 260 mm下フランジ: 210 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 80 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = −20 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 250 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = 90 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 4 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.06027 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6.637 × 10⁸ N

縮み

δ = 50000·800/6.637 × 10⁸ = 0.06027 mm

答え

δ = 0.06027 mm

2.軸応力とひずみ

答え: P_max = 452.4 kN

面積

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0008) = 0.0008 (黄銅)

最大荷重

P_max = 0.0008·5.655 × 10⁸ = 452389 N = 452.4 kN

答え

P_max = 452.4 kN

3.軸のねじり

答え: G = 26.05 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.24·π/180 = 0.0391 rad

横弾性係数

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(15708·0.0391) = 26054 MPa

G = 26.05 GPa

答え

G = 26.05 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 4.632 MPa

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

断面二次極モーメント

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·40/2.749 × 10⁶ = 4.632 MPa

答え

τ_max = 4.632 MPa

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 36.5 kN, R₂ = 36.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 73, M_C = 146, M_D = 195 kN·m, M_E = 146, M_F = 73, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 195 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: x_c = 4.55 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6.5 = 65 kN、作用点 x̄ = 3.25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·6.5·3.25

R_B = 211.3/5 = 42.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42.25 = 22.75 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = R_A·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2R_A/w で 0 になります。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·22.75/10 = 4.55 m

答え

x_c = 4.55 m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 9.371 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

ウェブ: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·132.5 + 1680·60)/8180 = 117.6 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·25³/12 + 6500·(132.5 − 117.6)² = 1.78 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·120³/12 + 1680·(60 − 117.6)² = 7.592 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.78 × 10⁶ + 7.592 × 10⁶ = 9.371 × 10⁶ mm⁴ = 9.371 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 9.371 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 118.6 × 10⁶ mm⁴

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2340 mm², y = 285 mm

ウェブ: A = 2080 mm², y = 146 mm

下フランジ: A = 3360 mm², y = 8 mm

図心

ȳ = (2340·285 + 2080·146 + 3360·8)/7780 = 128.2 mm

平行軸の定理

上フランジ: 130·18³/12 + 2340·156.8² = 5.759 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 8·260³/12 + 2080·17.79² = 1.238 × 10⁷ mm⁴

下フランジ: 210·16³/12 + 3360·120.2² = 4.862 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.759 × 10⁷ + 1.238 × 10⁷ + 4.862 × 10⁷

I_x = 1.186 × 10⁸ mm⁴ = 118.6 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 118.6 × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 50 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 80 MPa, R = √(0² + (−20)²) = 20 MPa

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 60 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 100, 60)/2 = 50 MPa

答え

τ_abs = 50 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 2.579

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 55 MPa, R = 46.1 MPa

σ₁ = 101.1 MPa, σ₂ = 8.902 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(101.1² − 101.1·8.902 + 8.902²) = 96.95 MPa

n = 250/96.95 = 2.579

答え

n = 2.579

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ = 57.53 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·1.32 × 10¹¹) = 57.53 mm

答え

δ = 57.53 mm

12.はりのたわみ

答え: R_B = 18 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

答え

R_B = 18 kN

13.柱の座屈

答え: P_cr = 16.82 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN

答え

P_cr = 16.82 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 5.483 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa

答え

σ_cr = 5.483 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials