軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 150 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1800 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
40 kN @ 4 m10 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 20 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 210 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 15 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 0 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 15°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸引張力 20 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmF = 20 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 19 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.06331 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5890 = 7.108 × 10⁸ N
縮み
δ = 150000·300/7.108 × 10⁸ = 0.06331 mm
答え
δ = 0.06331 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 12.73 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 20000·418879/523599 = 16000 N
応力
σ2 = 16000/1257 = 12.73 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 12.73 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 2.882 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·79522) = 0.0503 rad
φ = 0.0503·180/π = 2.882°
答え
φ = 2.882°
4.軸のねじり
答え: τmax = 6.917 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/575243 = 6.917 MPa
答え
τmax = 6.917 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 4 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 15 kN, R2 = 35 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 15, MC = 30, MD = 45, ME = 60 kN·m, MF = 35, MG = 0
答え
点 E: ME = 60 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 36 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 8·4·2
RB = 104/4 = 26 kN
ΣFy = 0: RA = 52 − 26 = 26 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 26·2 − 8·2·1 = 36 kN·m
答え
Mx = 36 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (60000·150 − 1963·210)/(60000 − 1963) = 148 mm
ȳ まわりの全体の板
200·300³/12 + 60000·2.03² = 450.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·50⁴/64 + 1963·62.03² = 7.862 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 442.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 13.69 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 300 + 25/2 = 312.5 mm
ウェブ: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·312.5 + 4800·150)/9800 = 232.9 mm
平行軸の定理
フランジ: 200·25³/12 + 5000·(312.5 − 232.9)² = 3.193 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·300³/12 + 4800·(150 − 232.9)² = 6.899 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.193 × 10⁷ + 6.899 × 10⁷ = 1.009 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 325 − 232.9 = 92.09 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·92.09/1.009 × 10⁸ = 13.69 MPa
答え
σ上端 = 13.69 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 64.64 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 40 − (−40)·0.866 − 20·0.5 = 64.64 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 15.36 MPa, σx′ + σy′ = 80 = σx + σy
答え
σy′ = 64.64 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 21.43 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 20000/(π·40²/4) = 20000/1257 = 15.92 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 7.958 MPa
R = √(7.958² + 19.89²) = 21.43 MPa
答え
τmax = 21.43 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.02241 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 5·4000³/(24·5.95 × 10¹¹) = 0.02241 rad
答え
θA = 0.02241 rad
これは 1.284° です。
12.はりのたわみ
答え: δmid = 44.55 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·9.24 × 10¹¹) = 44.55 mm
答え
δmid = 44.55 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.636 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2500² = 8636 N = 8.636 kN
答え
Pcr = 8.636 kN
14.柱の座屈
答え: d = 40.39 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 40.39 mm
答え
d = 40.39 mm
確認：細長比 KL/r は 123.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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