軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 55 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mM0 = 55 kN·m 時計回り、位置 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 200 mm、外高は H = 275 mm、壁厚は一様に t = 6 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 200 mmH = 275 mmt = 6 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 100 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 260 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 160 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 160 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 23 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 44.98 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·2827) = 2.021 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/5.558 × 10⁻⁶ = 44982 N = 44.98 kN
答え
P = 44.98 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 35.7 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·490874/700313 = 70093 N
応力
σ2 = 70093/1963 = 35.7 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 35.7 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 7.015 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·251327) = 0.1224 rad
φ = 0.1224·180/π = 7.015°
答え
φ = 7.015°
4.軸のねじり
答え: do = 38.01 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
許容応力からの外径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·75·0.5904)) = 38.01 mm
di = 0.8·38.01 = 30.41 mm
答え
do = 38.01 mm
中実軸なら d = 31.89 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 22 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (上向き)
RA = −RB = −11 kN (下向き)
偶力のすぐ右で切断
左側部分には RA と偶力が含まれます。
Mx = RA·a + M0 = −11·3 + 55 = 22 kN·m
答え
Mx = 22 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 14.4 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·6·3
RB = 90/5 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18 = 12 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 12/5 = 2.4 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 12²/(2·5) = 14.4 kN·m
答え
Mmax = 14.4 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 105.3 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 188 mm, h = 263 mm
A = BH − bh = 200·275 − 188·263 = 5556 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 6.162 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(6.162 × 10⁷/5556) = 105.3 mm
答え
r = 105.3 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 10.52 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (1500·267.5 + 3120·130)/4620 = 174.6 mm
上縁: c = 275 − 174.6 = 100.4 mm
断面二次モーメント
I = 100·15³/12 + 1500·92.86² + 12·260³/12 + 3120·44.64² = 3.676 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 100·3.676 × 10⁷/100.4 = 36.63 kN·m
下縁: M = 50·3.676 × 10⁷/174.6 = 10.52 kN·m
決定値
Mallow = min = 10.52 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 10.52 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −15.48 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 50/58.31 = 0.8575, sin 2θs = −30/58.31 = −0.5145
2θs = atan2(−30, 50) = −30.96°
要素上の角度
θs = −15.48°
確認: θs − θp = −15.48 − 29.52 = −45°
答え
θs = −15.48°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 136.9 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 110 + 10·0.766 + 30·0.6428 = 136.9 MPa
答え
σθ = 136.9 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.002381 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1.68 × 10¹³) = 0.002381 rad
答え
θA = 0.002381 rad
これは 0.1364° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 76.52 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 23000·8000³/(48·4.6 × 10¹²) = 53.33 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 23.19 mm
足し合わせる
δmax = 53.33 + 23.19 = 76.52 mm
答え
δmax = 76.52 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 13.25 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN
答え
Pcr = 13.25 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 4.441 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/7.5 = 666.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa
答え
σcr = 4.441 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials