軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 25 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
長さ 2.5 m の黄銅製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 2° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 2.5 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2.5 mP = 30 kN 位置 0.5 mw = 6 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mw = 16 kN/m（1 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 100 mmM = 25 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −50 MPaσy = −10 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 160 MPaσy = −60 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 2 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 132.4 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1.389 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/3.776 × 10⁻⁶ = 132404 N = 132.4 kN
答え
P = 132.4 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.039 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 35.37 MPa
σ2 = 221 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 35.37·1000/117000 = 0.3023 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 221·1500/70000 = 4.737 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.039 mm
答え
δ = 5.039 mm
3.軸のねじり
答え: d = 43.98 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·2500/(39000·0.03491) = 367281 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 43.98 mm
答え
d = 43.98 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 17.64 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m
許容応力からの外径
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·75·0.5904)) = 17.64 mm
di = 0.8·17.64 = 14.11 mm
答え
do = 17.64 mm
中実軸なら d = 14.8 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −33.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −30·0.5 = −15 kN·m
w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m
MA = −15 − 18.75 = −33.75 kN·m
答え
MA = −33.75 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 28.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 16·3·2.5
RB = 120/4 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 30 = 18 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 18/16 = 2.125 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 18·2.125 − 16·1.125²/2 = 28.13 kN·m
答え
Mmax = 28.13 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 3.56 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
ウェブ: Aw = 8·100 = 800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·115 + 800·50)/3800 = 101.3 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·30³/12 + 3000·(115 − 101.3)² = 786773 mm⁴
ウェブ: 8·100³/12 + 800·(50 − 101.3)² = 2.773 × 10⁶ mm⁴
Ix = 786773 + 2.773 × 10⁶ = 3.56 × 10⁶ mm⁴ = 3.56 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 3.56 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 107 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
ウェブ: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·110 + 1400·50)/6600 = 97.27 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·20³/12 + 5200·(110 − 97.27)² = 1.016 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·100³/12 + 1400·(50 − 97.27)² = 4.295 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.016 × 10⁶ + 4.295 × 10⁶ = 5.311 × 10⁶ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 120 − 97.27 = 22.73 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·22.73/5.311 × 10⁶ = 107 MPa
答え
σ上端 = 107 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 26.18 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −30 MPa, R = √((−20)² + (−10)²) = 22.36 MPa
σ1 = −7.639 MPa, σ2 = −52.36 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(44.72, 7.639, 52.36)/2 = 26.18 MPa
答え
τabs = 26.18 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 113.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 50 + 110·0.5 + −10·−0.866 = 113.7 MPa
答え
σθ = 113.7 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 40.02 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 2000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 8.893 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.008893 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 40.02 mm
答え
δB = 40.02 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 220 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16.67) = 8.878 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·8.878 × 10⁷/100)1/3 = 220 mm
答え
hreq = 220 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 15.5 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15.5 kN
答え
Pcr = 15.5 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 17.27 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答え
σcr = 17.27 MPa
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