材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mm銅3 mP = 95 kN

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 95 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20120 GPaØ100/50800 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d = 12 mmT = 30 N·m200 mmφ = 4.33°

ねじり試験で、直径 12 mm の中実試験片をトルク 30 N·m でねじる。標点距離 200 mm の両端は互いに 4.33° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 30 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 4.33°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
d = 20 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0.5 mb = 3 m

直径 20 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.5 m、B から 3 m の C にトルク 100 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。

d = 20 mmT0 = 100 N·ma = 0.5 mb = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mAB断面6 m4 m

支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）x = 6 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m60 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 12 m55 kN @ 6 m15 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm300 mm105 mmØ50xIx​ = ?

100 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1602526020xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 100σy​ = 100τxy​ = 50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 100 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 40 mm の中実軸が軸圧縮力 40 kNとトルク 400 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 40 mmF = −40 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 12 kNABδ0.5 m2 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 12 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mP = 25 kNδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 25 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 45 kNL = 1.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 45 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 7179 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0.007179 = 7179 µε

答え

ε = 7179 µε
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 513.1 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.001, 0.0006667) = 0.0006667 (銅)

最大荷重

Pmax = 0.0006667·7.697 × 10⁸ = 513127 N = 513.1 kN

答え

Pmax = 513.1 kN
3.軸のねじり

答え: G = 39 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 4.33·π/180 = 0.07557 rad

横弾性係数

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·200/(2036·0.07557) = 39000 MPa
G = 39 GPa

答え

G = 39 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: φC = 1.954 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/3.5 = 85.71 N·m
TB = 100·0.5/3.5 = 14.29 N·m

C の回転角

区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 85714·500/(80000·15708) = 0.0341 rad = 1.954°

答え

φC = 1.954°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 36 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15断面6 m4 m

x = 6 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·6 − 3·6·3 = 36 kN·m

答え

Mx = 36 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 43.75 kN, R2 = 191.3 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 57.5, MC = 55, MD = −7.5, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

答え

点 E: ME = −240 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 220.4 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 1963·105)/(30000 − 1963) = 153.2 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·−3.152² = 225.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·−48.15² = 4.859 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 220.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 220.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 6.169 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272.5 mm
ウェブ: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·272.5 + 5200·130)/9200 = 192 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·25³/12 + 4000·(272.5 − 192)² = 2.616 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 192)² = 4.925 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.616 × 10⁷ + 4.925 × 10⁷ = 7.541 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 285 − 192 = 93.04 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·93.04/7.541 × 10⁷ = 6.169 MPa

答え

σ上端 = 6.169 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 50 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((100 − 100)/2)² + 50²) = 50 MPa

答え

τmax = 50 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 19.67 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = −40000/(π·40²/4) = −40000/1257 = −31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = −15.92 MPa
R = √((−15.92)² + 31.83²) = 35.59 MPa
σ1 = C + R = 19.67 MPa
σ2 = C − R = −51.5 MPa

答え

σ1 = 19.67 MPa
11.はりのたわみ

答え: δB = 2.652 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 12000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 0.3788 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001136 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.652 mm

答え

δB = 2.652 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 1.585 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 25000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 25000·2000³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.9058 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 0.6793 mm

足し合わせる

δmax = 0.9058 + 0.6793 = 1.585 mm

答え

δmax = 1.585 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 86.82 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86.82 kN

答え

Pcr = 86.82 kN
14.柱の座屈

答え: d = 45.77 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 45.77 mm

答え

d = 45.77 mm

確認：細長比 KL/r は 91.76 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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