材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mmアルミニウム2.5 mP = 30 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 30 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø2570 GPaØ100/50800 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 400 N·md = 25 mmL = 1.2 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 400 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 200 N·mABC0.5 m1 m

直径 25 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 0.5 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。

d = 25 mmTB = 250 N·mTC = 200 N·mAB = 0.5 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 10 kN·mAB3 m1 m

単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 10 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mM0 = 10 kN·m 時計回り、位置 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 30 kNAB3 m7 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mP = 30 kN 位置 3 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
1803030020x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm300 mm180 mm30 × 40xIx​ = ?

100 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 180 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 40τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 60σy​ = −50τxy​ = 40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 60 MPaσy = −50 MPaτxy = 40 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mAB8 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 5 kNL = 6 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 5 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 606.3 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/706.9 = 42.44 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 42.44/70000 = 0.0006063 = 606.3 µε

答え

ε = 606.3 µε
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 382.9 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5890 = 5.105 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00075, 0.001143) = 0.00075 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.00075·5.105 × 10⁸ = 382882 N = 382.9 kN

答え

Pmax = 382.9 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 18.39 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·38350) = 0.3209 rad
φ = 0.3209·180/π = 18.39°

答え

φ = 18.39°
4.軸のねじり

答え: φC = 6.704 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 250 = −50 N·m

各区間のねじれ角

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −50000·500/(39000·38350) = −0.01672 rad
φBC = 200000·1000/(39000·38350) = 0.1337 rad

端 C のねじれ角

φC = −0.01672 + 0.1337 = 0.117 rad → |φC| = 6.704°

答え

φC = 6.704°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −7.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 10/4 = 2.5 kN (上向き)
RA = −RB = −2.5 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −2.5·3 = −7.5 kN·m

答え

Mx = −7.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 115.6 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·3 + 5·10·5
RB = 340/10 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 34 = 46 kN

V = 0 となるのはどこですか？

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (46 − 30)/5 = 3.2 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 115.6 kN·m

答え

Mmax = 115.6 kN·m

それは A から x = 3.2 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 122.8 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm
ウェブ: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·315 + 6000·150)/11400 = 228.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·30³/12 + 5400·(315 − 228.2)² = 4.113 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·300³/12 + 6000·(150 − 228.2)² = 8.165 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.113 × 10⁷ + 8.165 × 10⁷ = 1.228 × 10⁸ mm⁴ = 122.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 122.8 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 1200·180)/(30000 − 1200) = 148.8 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·1.25² = 225 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·40³/12 + 1200·31.25² = 1.332 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 58.31 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 40)/2)² + −30²) = 58.31 MPa

答え

τmax = 58.31 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 3.902

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 5 MPa, R = 68.01 MPa
σ1 = 73.01 MPa, σ2 = −63.01 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(73.01² − 73.01·(−63.01) + (−63.01)²) = 117.9 MPa
n = 460/117.9 = 3.902

答え

n = 3.902

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δmax = 1.435 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.435 mm

答え

δmax = 1.435 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 18 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

答え

RB = 18 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 110.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN

答え

Pcr = 110.2 kN
14.柱の座屈

答え: d = 42.68 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 42.68 mm

答え

d = 42.68 mm

確認：細長比 KL/r は 281.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials