軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 10 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 25 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 100 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 100 N·mL = 1.2 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 0.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mw = 4 kN/m（3 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm × 240 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 168 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 240 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 20 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 20 mm の中実軸が曲げモーメント 200 N·mとトルク 500 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 20 mmM = 200 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 4.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 9 kNa = 4.5 mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 6 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 120.9 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/706.9 = 14.15 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 14.15/117000 = 0.0001209 = 120.9 µε
答え
ε = 120.9 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 221 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 19.89 MPa
σ2 = 221 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 221 MPa
答え
σmax = 221 MPa
3.軸のねじり
答え: d = 36.61 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1200/(26000·0.02618) = 176295 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 36.61 mm
答え
d = 36.61 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 59.26 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 1.91 × 10⁶·30/966855 = 59.26 MPa
答え
τmax = 59.26 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 4.5 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 3·4·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 6 − 3·0.5 = 4.5 kN
答え
Vx = 4.5 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 17.28 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·2·4
RB = 32/10 = 3.2 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 3.2 = 4.8 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 4.8/4 = 4.2 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 3)²/2 = 4.8·4.2 − 4·1.2²/2 = 17.28 kN·m
答え
Mmax = 17.28 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 2.79 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
ウェブ: Aw = 8·100 = 800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·110 + 800·50)/2800 = 92.86 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·20³/12 + 2000·(110 − 92.86)² = 654422 mm⁴
ウェブ: 8·100³/12 + 800·(50 − 92.86)² = 2.136 × 10⁶ mm⁴
Ix = 654422 + 2.136 × 10⁶ = 2.79 × 10⁶ mm⁴ = 2.79 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 2.79 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 224.3 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (48000·120 − 2400·168)/(48000 − 2400) = 117.5 mm
ȳ まわりの全体の板
200·240³/12 + 48000·2.526² = 230.7 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
60·40³/12 + 2400·50.53² = 6.447 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 224.3 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 224.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 32.02 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((20 − −30)/2)² + −20²) = 32.02 MPa
答え
τmax = 32.02 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 470.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 127.3 MPa
R = √(127.3² + 318.3²) = 342.8 MPa
σ1 = C + R = 470.2 MPa
σ2 = C − R = −215.5 MPa
答え
σ1 = 470.2 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 35.97 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 9000 N, a = 4500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 23.98 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.007993 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 35.97 mm
答え
δB = 35.97 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 4.794 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 6000·1500³/(48·2.53 × 10¹¹) = 1.667 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 3.127 mm
足し合わせる
δmax = 1.667 + 3.127 = 4.794 mm
答え
δmax = 4.794 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 51.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3500² = 51564 N = 51.56 kN
答え
Pcr = 51.56 kN
14.柱の座屈
答え: d = 57.12 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 57.12 mm
答え
d = 57.12 mm
確認：細長比 KL/r は 175.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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