軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 30 mm、内径 23 mm、長さ 0.8 m）が一端で固定され、他端でトルク 200 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 750 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2 mP = 25 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mP = 80 kN 位置 5 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 230 mm、内径は d = 218 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 230 mmd = 218 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 150 mm、厚さ 24 mm、全高は 440 mm、ウェブの厚さは 14 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 150 mmH = 440 mmtf = 24 mmtw = 14 mmM = 50 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 15 kNw = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1534 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6.519 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·500/6.519 × 10⁸ = 0.1534 mm
答え
δ = 0.1534 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 302.4 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 75.6 MPa
σ2 = 302.4 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 302.4 MPa
答え
σmax = 302.4 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 4.516 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴
ねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·800/(39000·52048) = 0.07882 rad
φ = 0.07882·180/π = 4.516°
答え
φ = 4.516°
4.軸のねじり
答え: τmax = 16.09 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 954930·40/2.374 × 10⁶ = 16.09 MPa
答え
τmax = 16.09 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −46.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −25·1.5 = −37.5 kN·m
w: −8·1.5²/2 = −9 kN·m
Mx = −37.5 − 9 = −46.5 kN·m
答え
Mx = −46.5 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 71.67 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 80·5 + 2·6·3
RB = 436/6 = 72.67 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 72.67 = 19.33 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(5⁻) = RA − w·5 = 9.333 kN
V(5⁺) = 9.333 − 80 = −70.67 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 19.33·5 − 2·5²/2 = 71.67 kN·m
答え
Mmax = 71.67 kN·m
それは A から x = 5 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 79.22 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 4222 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.65 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(2.65 × 10⁷/4222) = 79.22 mm
答え
r = 79.22 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 25.65 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 440 − 2·24 = 392 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·440³ − 136·392³)/12
Ix = 3.821 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 220 − 24 = 196 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·196/3.821 × 10⁸ = 25.65 MPa
答え
σj = 25.65 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 49.24 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((100 − 10)/2)² + 20²) = 49.24 MPa
答え
τmax = 49.24 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 20.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 5 + −55·0.5 + 50·0.866 = 20.8 MPa
答え
σθ = 20.8 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 19.38 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 19.38 mm
答え
δmax = 19.38 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 16.75 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 15000·2500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 8.206 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 8.548 mm
足し合わせる
δmax = 8.206 + 8.548 = 16.75 mm
答え
δmax = 16.75 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 57.12 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/6000² = 57116 N = 57.12 kN
答え
Pcr = 57.12 kN
14.柱の座屈
答え: d = 77.37 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 77.37 mm
答え
d = 77.37 mm
確認：細長比 KL/r は 155.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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