軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 85 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 110 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 20 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 4.38° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 4.38°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1800 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 7.5 mP1 = 35 kN 位置 3 mP2 = 30 kN 位置 7.5 m支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP = 55 kN 位置 1.5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 180 mm、外高は H = 250 mm、壁厚は一様に t = 8 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 180 mmH = 250 mmt = 8 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 90 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 130 MPa、σᵧ = 20 MPa である。最大主応力が 180 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 130 MPaσy = 20 MPaσ1 = 180 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 30 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 15 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 80 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.718 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706.9 = 120.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 120.3/70000 = 0.001718 = 1718 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001718·1000 mm = 1.718 mm
答え
δ = 1.718 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.326 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 155.6 MPa
σ2 = 547.1 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 155.6·1000/70000 = 2.223 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547.1·1500/200000 = 4.103 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.326 mm
答え
δ = 6.326 mm
3.軸のねじり
答え: G = 79.95 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 4.38·π/180 = 0.07645 rad
横弾性係数
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981.7·0.07645) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
答え
G = 79.95 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 29.37 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·397887/(π·80)) = 29.37 mm
答え
d = 29.37 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −45 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 30·7.5
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 55 = 10 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部には P2 だけが腕の長さ a で作用します。これにより、はりは支点上で上に凸に曲がります（負の曲げ）。
MB = −P2·a = −30·1.5 = −45 kN·m
答え
MB = −45 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 65.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1.5 + 3·5·2.5
RB = 120/5 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 24 = 46 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 41.5 kN
V(1.5⁺) = 41.5 − 55 = −13.5 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 46·1.5 − 3·1.5²/2 = 65.63 kN·m
答え
Mmax = 65.63 kN·m
それは A から x = 1.5 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 94.59 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 164 mm, h = 234 mm
A = BH − bh = 180·250 − 164·234 = 6624 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 5.927 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(5.927 × 10⁷/6624) = 94.59 mm
答え
r = 94.59 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (45000·150 − 900·90)/(45000 − 900) = 151.2 mm
ȳ まわりの全体の板
150·300³/12 + 45000·−1.224² = 337.6 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·30³/12 + 900·−61.22² = 3.441 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 89.44 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (130 + 20)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 180 − 75 = 105 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 55²) = 89.44 MPa
答え
τxy = 89.44 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −1.699 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −20 + 50·−0.5 + 50·0.866 = −1.699 MPa
答え
σθ = −1.699 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.008889 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 10·8000³/(24·2.4 × 10¹³) = 0.008889 rad
答え
θA = 0.008889 rad
これは 0.5093° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 22.1 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 15000·2000³/(48·1.32 × 10¹¹) = 18.94 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 3.157 mm
足し合わせる
δmax = 18.94 + 3.157 = 22.1 mm
答え
δmax = 22.1 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.73 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/4200² = 3730 N = 3.73 kN
答え
Pcr = 3.73 kN
14.柱の座屈
答え: d = 77.92 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 77.92 mm
答え
d = 77.92 mm
確認：細長比 KL/r は 128.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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