軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 70 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 15 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 100 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 40 mm, L2 = 2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 6.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 30 kN 位置 7 mw = 12 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 60 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 30 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = 50 MPa である。最大主応力が 60 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 40 MPaσy = 50 MPaσ1 = 60 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 355 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaσY = 355 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 6 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 3 mP = 55 kN 位置 1.5 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 2228 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 70·1000/314.2 = 222.8 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 222.8/100000 = 0.002228 = 2228 µε
答え
ε = 2228 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 132.6 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 30.56 MPa
σ2 = 132.6 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 132.6 MPa
答え
σmax = 132.6 MPa
3.軸のねじり
答え: τmax = 7.958 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 100 N·m = 100000 N·mm
τAB = 16·100000/(π·50³) = 4.074 MPa
τBC = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa
答え
τmax = 7.958 MPa
4.軸のねじり
答え: τmax = 38.4 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 716197·25/466269 = 38.4 MPa
答え
τmax = 38.4 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 18 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 20·1 − 4·1·0.5 = 18 kN·m
答え
Mx = 18 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 82.88 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·7 + 12·8·4
RB = 594/8 = 74.25 kN
ΣFy = 0: RA = 126 − 74.25 = 51.75 kN
x = 6.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 51.75·6.5 − 12·6.5·3.25 = 82.88 kN·m
答え
Mx = 82.88 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 1963·60)/(20000 − 1963) = 104.4 mm
ȳ まわりの全体の板
100·200³/12 + 20000·−4.354² = 67.05 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·50⁴/64 + 1963·−44.35² = 4.17 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 62.88 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 77.89 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·100 − 1200·60)/(24000 − 1200) = 102.1 mm
ȳ まわりの全体の板
120·200³/12 + 24000·−2.105² = 80.11 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·30³/12 + 1200·−42.11² = 2.217 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 77.89 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 77.89 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 14.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (40 + 50)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 60 − 45 = 15 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(15² − 5²) = 14.14 MPa
答え
τxy = 14.14 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.153
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 10 MPa, R = 82.46 MPa
σ1 = 92.46 MPa, σ2 = −72.46 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 164.9 MPa
n = 355/164.9 = 2.153
答え
n = 2.153
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δB = 2.201 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 6000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 1.467 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001467 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.201 mm
答え
δB = 2.201 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 17.19 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN
答え
RB = 17.19 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 110.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1500 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110.2 kN
答え
Pcr = 110.2 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 11.99 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/6.25 = 240
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa
答え
σcr = 11.99 MPa
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