材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、銅でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.軸のねじりふつう

ねじり試験で、直径 12 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 200 mm の両端は互いに 7.04° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 7.04°

G = GPa

4.軸のねじりむずかしい

直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 750 N·m が作用し、さらに 0.5 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 1500 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1.2 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）x = 3 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 30 kN 位置 7 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 5 m

M_x = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

円管の外径は D = 70 mm、内径は d = 46 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 70 mmd = 46 mm

r = mm

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_下端 = MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = 140 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 170 MPa に達するまでに、せん断応力 τ_xy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 30 kNw = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 88.36 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1963) = 1.698 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.4/4.527 × 10⁻⁶ = 88357 N = 88.36 kN

答え

P = 88.36 kN

2.軸応力とひずみ

答え: P_max = 631.5 kN

面積

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0005) = 0.0005 (銅)

最大荷重

P_max = 0.0005·1.263 × 10⁹ = 631460 N = 631.5 kN

答え

P_max = 631.5 kN

3.軸のねじり

答え: G = 79.96 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 7.04·π/180 = 0.1229 rad

横弾性係数

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0.1229) = 79957 MPa

G = 79.96 GPa

答え

G = 79.96 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τ_max = 179 MPa

内部トルク

T_C の向きを正とする。

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 750 = 2250 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|_max = 2250 N·m

τ_max = 16·2.25 × 10⁶/(π·40³) = 179 MPa

答え

τ_max = 179 MPa

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 40·3 − 10·3·1.5 = 75 kN·m

答え

M_x = 75 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 70 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·7 + 2·10·5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31 = 19 kN

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 19·5 − 2·5·2.5 = 70 kN·m

答え

M_x = 70 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 20.94 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 2187 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 958802 mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(958802/2187) = 20.94 mm

答え

r = 20.94 mm

8.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 324.1 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

ウェブ: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·135 + 1920·60)/7320 = 115.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·30³/12 + 5400·(135 − 115.3)² = 2.495 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 115.3)² = 8.181 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.495 × 10⁶ + 8.181 × 10⁶ = 1.068 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 115.3 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·115.3/1.068 × 10⁷ = 324.1 MPa

答え

σ_下端 = 324.1 MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_xy = 57.45 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (140 + 60)/2 = 100 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 100 = 70 MPa

せん断応力

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 40²) = 57.45 MPa

答え

τ_xy = 57.45 MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = −60.25 MPa

変換式

τ_θ = −70·0.9848 + −50·−0.1736 = −60.25 MPa

答え

τ_θ = −60.25 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ = 25.77 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(3EI) = 30000·2500³/(3·7.2 × 10¹²) = 21.7 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 4.069 mm

足し合わせる

δ = 21.7 + 4.069 = 25.77 mm

答え

δ = 25.77 mm

12.はりのたわみ

答え: I_req = 1.187 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·200000·4.167) = 1.187 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1.187 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 1.187 × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈

答え: P_cr = 13.25 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13.25 kN

答え

P_cr = 13.25 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 26.99 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12.5 = 160

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa

答え

σ_cr = 26.99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials