軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 40 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 11.08° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 11.08°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 1000 rpm で 50 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
60 kN @ 0 m45 kN @ 12 m40 kN @ 4 m15 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 20 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 60 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 110 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 27 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 15 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 191.7 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/2.608 × 10⁻⁶ = 191690 N = 191.7 kN
答え
P = 191.7 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 198.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 198.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 198.9 MPa
答え
σmax = 198.9 MPa
3.軸のねじり
答え: G = 26.01 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 11.08·π/180 = 0.1934 rad
横弾性係数
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0.1934) = 26011 MPa
G = 26.01 GPa
答え
G = 26.01 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: d = 80.92 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
強度から決まる直径
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31.89 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·477465/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 80.92 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(31.89, 80.92) = 80.92 mm
答え
d = 80.92 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 15 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 12.5·3 − 5·3·1.5 = 15 kN·m
答え
Mx = 15 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 121.7 kN, R2 = 113.3 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −120, MC = −26.67, MD = −73.33, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
答え
点 E: ME = −180 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 48.8 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
ウェブ: Aw = 16·220 = 3520 mm², yw = 220/2 = 110 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·232.5 + 3520·110)/10020 = 189.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·25³/12 + 6500·(232.5 − 189.5)² = 1.238 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·220³/12 + 3520·(110 − 189.5)² = 3.643 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.238 × 10⁷ + 3.643 × 10⁷ = 4.88 × 10⁷ mm⁴ = 48.8 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 48.8 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 1000·80)/(20000 − 1000) = 101.1 mm
ȳ まわりの全体の板
100·200³/12 + 20000·−1.053² = 66.69 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
50·20³/12 + 1000·−21.05² = 0.4765 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 66.21 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 50.65 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·50, 60 − 80) = 101.3°
要素上の角度
θp = 50.65°
答え
θp = 50.65°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 126.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 105 MPa, R = 40.31 MPa
σ1 = 145.3 MPa, σ2 = 64.69 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(145.3² − 145.3·64.69 + 64.69²) = 126.1 MPa
答え
σvM = 126.1 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 59.06 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 27000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·1500²·3500²/(3·8.4 × 10¹¹·5000) = 59.06 mm
答え
δP = 59.06 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 4.63 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 15000·4000³/(48·7.2 × 10¹²) = 2.778 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.852 mm
足し合わせる
δmax = 2.778 + 1.852 = 4.63 mm
答え
δmax = 4.63 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 151.4 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN
答え
Pcr = 151.4 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 4.819 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/6.25 = 640
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa
答え
σcr = 4.819 MPa
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