材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm400 mmØ20Ø40δ = 0.4 mm

棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mmアルミニウム2 mØ 16 mm銅2 mP = 115 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 115 kN区間 1：Ø30 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 100 N·md = 30 mmL = 1.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 100 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1450 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 10 kN/mP = 40 kNAB2.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2.5 mP = 40 kN 位置 2.5 mw = 10 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
20 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 0 m45 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
260130t = 10ȳ = ?寸法の単位：mm

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 260 mm の底板と、全高 130 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 10 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 260 mmh = 130 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1603014020x正の M寸法の単位：mm

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 60 MPa、圧縮で 120 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 140 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 150σy​ = 50τxy​ = −40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 150 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 150 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 20σy​ = −30τxy​ = −40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 355 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 20 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPaσY = 355 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mAB8 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 m30 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 41.89 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3.183 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.4/9.549 × 10⁻⁶ = 41888 N = 41.89 kN

答え

P = 41.89 kN
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 572 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 162.7 MPa
σ2 = 572 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 572 MPa

答え

σmax = 572 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 1.351 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·79522) = 0.02358 rad
φ = 0.02358·180/π = 1.351°

答え

φ = 1.351°
4.軸のねじり

答え: d = 16.12 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·65857/(π·80)) = 16.12 mm

答え

d = 16.12 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: MA = −131.3 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −40·2.5 = −100 kN·m
w: −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m
MA = −100 − 31.25 = −131.3 kN·m

答え

MA = −131.3 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 5 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 13.75 kN, R2 = 51.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −20, MC = −26.25, MD = −32.5, ME = −38.75, MF = −45 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −45 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 36.2 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A1 = 260·10 = 2600 mm², y1 = 5 mm
2 本の脚: A2 = 2·10·120 = 2400 mm², y2 = 10 + 120/2 = 70 mm

図心

ȳ = (2600·5 + 2400·70)/5000 = 36.2 mm

答え

ȳ = 36.2 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Mallow = 8.591 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (4800·155 + 2800·70)/7600 = 123.7 mm
上縁: c = 170 − 123.7 = 46.32 mm

断面二次モーメント

I = 160·30³/12 + 4800·31.32² + 20·140³/12 + 2800·53.68² = 1.771 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 120·1.771 × 10⁷/46.32 = 45.89 kN·m
下縁: M = 60·1.771 × 10⁷/123.7 = 8.591 kN·m

決定値

Mallow = min = 8.591 kN·m (下縁)

答え

Mallow = 8.591 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 82.02 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 100 MPa, R = √(50² + (−40)²) = 64.03 MPa
σ1 = 164 MPa, σ2 = 35.97 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(128.1, 164, 35.97)/2 = 82.02 MPa

答え

τabs = 82.02 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 3.763

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −5 MPa, R = 47.17 MPa
σ1 = 42.17 MPa, σ2 = −52.17 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 94.34 MPa
n = 355/94.34 = 3.763

答え

n = 3.763

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δmax = 17.61 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 17.61 mm

答え

δmax = 17.61 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 15 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

答え

RB = 15 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 7.402 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/6000² = 7402 N = 7.402 kN

答え

Pcr = 7.402 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 111 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

答え

σcr = 111 MPa

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