軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 85 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 95 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 15 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 15 kWN = 1000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 0 m15 kN @ 6 m10 kN @ 3 m10 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 260 mm の底板と、全高 70 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 8 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 260 mmh = 70 mmt = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 190 mm、厚さ 20 mm、全高は 360 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 190 mmH = 360 mmtf = 20 mmtw = 6 mmM = 50 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 130 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 45°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 130 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 13 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.781 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 85·1000/314.2 = 270.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 270.6/117000 = 0.002313 = 2313 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002313·2500 mm = 5.781 mm
答え
δ = 5.781 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 10.34 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 193.5 MPa
σ2 = 840 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 193.5·1000/100000 = 1.935 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·2000/200000 = 8.4 mm
δ = δ1 + δ2 = 10.34 mm
答え
δ = 10.34 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 1.197 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·613592) = 0.02089 rad
φ = 0.02089·180/π = 1.197°
答え
φ = 1.197°
4.軸のねじり
答え: τmax = 4.941 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 143239·30/869767 = 4.941 MPa
答え
τmax = 4.941 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 20 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·2 − 5·2·1 = 20 kN·m
答え
Mx = 20 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 4 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 35 kN, R2 = 40 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −20, MC = −10, MD = −10, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0
答え
点 E: ME = −30 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 1.152 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 260·8 = 2080 mm², y1 = 4 mm
2 本の脚: A2 = 2·8·62 = 992 mm², y2 = 8 + 62/2 = 39 mm
図心
ȳ = (2080·4 + 992·39)/3072 = 15.3 mm
平行軸の定理
基剤: 260·8³/12 + 2080·(4 − 15.3)² = 276786 mm⁴
2 本の脚: 2·8·62³/12 + 992·(39 − 15.3)² = 874869 mm⁴
Ix = 276786 + 874869
Ix = 1.152 × 10⁶ mm⁴ = 1.152 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 1.152 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 33.86 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 360 − 2·20 = 320 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·360³ − 184·320³)/12
Ix = 2.363 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 180 − 20 = 160 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·160/2.363 × 10⁸ = 33.86 MPa
答え
σj = 33.86 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 65 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 115 − 15·0 − (−50)·(−1) = 65 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 165 MPa, σx′ + σy′ = 230 = σx + σy
答え
σy′ = 65 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −28.05 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −10 + 10·0.766 + −40·0.6428 = −28.05 MPa
答え
σθ = −28.05 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 4.127 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 13000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·2000²·4000²/(3·1.12 × 10¹³·6000) = 4.127 mm
答え
δP = 4.127 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 165.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·16) = 3.788 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.788 × 10⁷/100)1/3 = 165.7 mm
答え
hreq = 165.7 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 48.96 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1050² = 48956 N = 48.96 kN
答え
Pcr = 48.96 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 3.084 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/12.5 = 800
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa
答え
σcr = 3.084 MPa
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