材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm黄銅2.5 mP = 65 kN

黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 65 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm銅0.5 mØ 16 mm黄銅0.5 mP = 20 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 20 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
d1​ = 40 mmd2​ = 30 mmT = 400 N·mABC1.5 m0.5 m

黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 1.5 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 0.5 m である。自由端 C にトルク 400 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。

T = 400 N·md1 = 40 mm, L1 = 1.5 md2 = 30 mm, L2 = 0.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 40 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1.5 mb = 1.2 m

直径 40 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 1.2 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。

d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 1.5 mb = 1.2 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 70 kNP2​ = 35 kNAB3 m2 m3 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP1 = 70 kN 位置 3 mP2 = 35 kN 位置 5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m25 kN20 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 0 m20 kN @ 12 m10 kN @ 4 m15 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
2802030016x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1802030016xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −50σy​ = 100τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = −50 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 120τxy​ = 60MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 23 kNABδ1 m4 m

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 23 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 45 kNAB4 m4 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mP = 45 kN 位置 4 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 145 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 145 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 145 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1324 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490.9 = 132.4 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132.4/100000 = 0.001324 = 1324 µε

答え

ε = 1324 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 99.47 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 99.47 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 99.47 MPa

答え

σmax = 99.47 MPa
3.軸のねじり

答え: φC = 7.202 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

各区間のねじれ角

T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 400000·1500/(39000·251327) = 0.06121 rad
φBC = 400000·500/(39000·79522) = 0.06449 rad

全ねじれ角

φC = 0.06121 + 0.06449 = 0.1257 rad = 7.202°

答え

φC = 7.202°
4.軸のねじり

答え: TA = 333.3 N·m

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.2/2.7 = 333.3 N·m
TB = 750·1.5/2.7 = 416.7 N·m

答え

TA = 333.3 N·m
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 170.6 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·8 = 70·3 + 35·5
RB = 385/8 = 48.13 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 48.13 = 56.88 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·3 = 56.88·3 = 170.6 kN·m
荷重点 P2: M = RB·3 = 48.13·3 = 144.4 kN·m

最大値

Mmax = 170.6 kN·m (荷重点 P1)

答え

Mmax = 170.6 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 71.67 kN, R2 = 73.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −50, MC = 13.33, MD = −3.333, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

答え

点 E: ME = −80 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 102.4 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
ウェブ: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·310 + 4800·150)/10400 = 236.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·20³/12 + 5600·(310 − 236.2)² = 3.072 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·300³/12 + 4800·(150 − 236.2)² = 7.163 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.072 × 10⁷ + 7.163 × 10⁷ = 1.024 × 10⁸ mm⁴ = 102.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 102.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 5.712 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
ウェブ: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·310 + 4800·150)/8400 = 218.6 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·20³/12 + 3600·(310 − 218.6)² = 3.021 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·300³/12 + 4800·(150 − 218.6)² = 5.857 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.021 × 10⁷ + 5.857 × 10⁷ = 8.878 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 320 − 218.6 = 101.4 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·101.4/8.878 × 10⁷ = 5.712 MPa

答え

σ上端 = 5.712 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −79.1 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−30, −50 − 100) = −158.2°

要素上の角度

θp = −79.1°

答え

θp = −79.1°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 158.7 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 60 MPa, R = 84.85 MPa
σ1 = 144.9 MPa, σ2 = −24.85 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(144.9² − 144.9·(−24.85) + (−24.85)²) = 158.7 MPa

答え

σvM = 158.7 MPa
11.はりのたわみ

答え: δP = 1.022 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·4000²/(3·2.4 × 10¹³·5000) = 1.022 mm

答え

δP = 1.022 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 14.06 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN

答え

RB = 14.06 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34.88 kN

答え

Pcr = 34.88 kN
14.柱の座屈

答え: d = 65.76 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65.76 mm

答え

d = 65.76 mm

確認：細長比 KL/r は 152.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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