材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 75 kNd = 25 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、黄銅でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 P_max を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.軸のねじりふつう

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 1800 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M₀ = 60 kN·m が作用し、他の荷重はない。偶力のすぐ右側での曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mM₀ = 60 kN·m 時計回り、位置 3 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 7.5 mw = 3 kN/m（0 から 7.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m

M_max = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_下端 = MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θ_s を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = 80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上の垂直応力 σ_θ を求めよ。

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.はりのたわみふつう

単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δ_P を求めよ。

P = 9 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。スパン中央のたわみ δ_mid を求めよ。

P = 14 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1306 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490.9 = 152.8 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152.8/117000 = 0.001306 = 1306 µε

答え

ε = 1306 µε

2.軸応力とひずみ

答え: P_max = 567.8 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·8482 = 9.464 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)

最大荷重

P_max = 0.0006·9.464 × 10⁸ = 567843 N = 567.8 kN

答え

P_max = 567.8 kN

3.軸のねじり

答え: φ = 13.51 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·79522) = 0.2358 rad

φ = 0.2358·180/π = 13.51°

答え

φ = 13.51°

4.軸のねじり

答え: d = 26.21 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·75)) = 26.21 mm

答え

d = 26.21 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 30 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：R_B·L − M₀ = 0。鉛直方向のつり合い：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 60/6 = 10 kN (上向き)

R_A = −R_B = −10 kN (下向き)

偶力のすぐ右で切断

左側部分には R_A と偶力が含まれます。

M_x = R_A·a + M₀ = −10·3 + 60 = 30 kN·m

答え

M_x = 30 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 11.87 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·7.5 = 22.5 kN、作用点 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·7.5·3.75

R_B = 84.38/6 = 14.06 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22.5 − 14.06 = 8.438 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8.438/3 = 2.813 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8.438²/(2·3) = 11.87 kN·m

答え

M_max = 11.87 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 55.59 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

ウェブ: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·250 + 4800·120)/8000 = 172 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·20³/12 + 3200·(250 − 172)² = 1.958 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·240³/12 + 4800·(120 − 172)² = 3.602 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.958 × 10⁷ + 3.602 × 10⁷ = 5.559 × 10⁷ mm⁴ = 55.59 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 55.59 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 179.8 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

ウェブ: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·125 + 1440·60)/4040 = 101.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·10³/12 + 2600·(125 − 101.8)² = 1.417 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 12·120³/12 + 1440·(60 − 101.8)² = 4.248 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.417 × 10⁶ + 4.248 × 10⁶ = 5.665 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 101.8 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·101.8/5.665 × 10⁶ = 179.8 MPa

答え

σ_下端 = 179.8 MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_s = −60.48 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θ_s = −30/58.31 = −0.5145, sin 2θ_s = −50/58.31 = −0.8575

2θ_s = atan2(−50, −30) = −121°

要素上の角度

θ_s = −60.48°

確認: θ_s − θ_p = −60.48 − (−15.48) = −45°

答え

θ_s = −60.48°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_θ = 47.62 MPa

変換式

σ_θ = 15 + 15·0.6428 + 30·0.766 = 47.62 MPa

答え

σ_θ = 47.62 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ_P = 41.76 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 9000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·3500²·1500²/(3·3.96 × 10¹¹·5000) = 41.76 mm

答え

δ_P = 41.76 mm

12.はりのたわみ

答え: δ_mid = 20.47 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

中央たわみ

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 14000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·6.27 × 10¹¹) = 20.47 mm

答え

δ_mid = 20.47 mm

13.柱の座屈

答え: P_cr = 6.867 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6.867 kN

答え

P_cr = 6.867 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 157.4 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12.5 = 112

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157.4 MPa

答え

σ_cr = 157.4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials