軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 2.5 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 0.8 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 2.5 md2 = 40 mm, L2 = 0.8 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
10 kN @ 2 m10 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 9.5 mw = 3 kN/m（0 から 9.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 180 mm の底板と、全高 100 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 10 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 180 mmh = 100 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 30 MPa、圧縮で 100 MPa である。 はりが負担できる最大の負の曲げモーメント Mallow を求めよ（大きさで答えよ）。
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 140 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 70 MPa である。最大主応力が 100 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 20 MPaσy = 70 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −20 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 13 kNa = 0.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 6 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 67.59 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1.286 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/7.398 × 10⁻⁶ = 67589 N = 67.59 kN
答え
P = 67.59 kN
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 630.3 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.00075·8.404 × 10⁸ = 630282 N = 630.3 kN
答え
Pmax = 630.3 kN
3.軸のねじり
答え: τmax = 15.92 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·75³) = 2.414 MPa
τBC = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
答え
τmax = 15.92 MPa
4.軸のねじり
答え: d = 27.86 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
答え
d = 27.86 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 68.33 kN, R2 = 61.67 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 116.7, MC = 173.3, MD = 190 kN·m, ME = 166.7, MF = 103.3, MG = 0
答え
点 D: MD = 190 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 22.34 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·9.5 = 28.5 kN、作用点 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·9.5·4.75
RB = 135.4/8 = 16.92 kN
ΣFy = 0: RA = 28.5 − 16.92 = 11.58 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.58/3 = 3.859 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.58²/(2·3) = 22.34 kN·m
答え
Mmax = 22.34 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 30 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 180·10 = 1800 mm², y1 = 5 mm
2 本の脚: A2 = 2·10·90 = 1800 mm², y2 = 10 + 90/2 = 55 mm
図心
ȳ = (1800·5 + 1800·55)/3600 = 30 mm
答え
ȳ = 30 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 10.06 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (4000·150 + 2240·70)/6240 = 121.3 mm
上縁: c = 160 − 121.3 = 38.72 mm
断面二次モーメント
I = 200·20³/12 + 4000·28.72² + 16·140³/12 + 2240·51.28² = 1.298 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。
上縁: M = 30·1.298 × 10⁷/38.72 = 10.06 kN·m
下縁: M = 100·1.298 × 10⁷/121.3 = 10.7 kN·m
決定値
Mallow = min = 10.06 kN·m (上縁)
答え
Mallow = 10.06 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 48.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (20 + 70)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 100 − 45 = 55 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 25²) = 48.99 MPa
答え
τxy = 48.99 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.901
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −45 MPa, R = 32.02 MPa
σ1 = −12.98 MPa, σ2 = −77.02 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √((−12.98)² − (−12.98)·(−77.02) + (−77.02)²) = 71.41 MPa
n = 350/71.41 = 4.901
答え
n = 4.901
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δB = 9.35 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 13000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 0.6448 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001935 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9.35 mm
答え
δB = 9.35 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 45 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 180 − 135 = 45 kN·m
答え
MA = 45 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 40.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1050² = 40797 N = 40.8 kN
答え
Pcr = 40.8 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
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