物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 40 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 40 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 55° 上向きに打ち出すと、60 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 55°R = 60 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 60 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 60 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.5 kg のボールを長さ 1.1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 6.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgr = 1.1 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.2 kg の小球が長さ 0.8 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgL = 0.8 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

20° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 20 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 2.5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1100 kg の自動車が、駐車中の質量 1800 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 11.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1100 kgm₂ = 1800 kgd = 11.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 110 N/m のばねにつけた質量 1.6 kg のおもりを正の向きに 15 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.55 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 1.6 kgk = 110 N/mA = 15 cmt = 0.55 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 60 N/m のばねにつけた質量 3.5 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 3.5 kgk = 60 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 30 cm の薄い収束レンズの 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 30 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凹面鏡の 20 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 20 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 90 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

答え

s = 90 m

2.運動学

答え: h_max = 101.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 40·1 = 40 m/s

h₁ = ½·40·1² = 20 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9.81) = 81.55 m

h_max = 20 + 81.55 = 101.5 m

答え

h_max = 101.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.602 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 19.13)/11.5 = 2.602 m/s²

答え

a = 2.602 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 25.03 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·60/sin 110°) = 25.03 m/s

答え

v₀ = 25.03 m/s

6.放物運動

答え: t = 4.945 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 60° = 12.12 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 12.12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.12 + √(147 + 1177))/9.81 = 4.945 s

答え

t = 4.945 s

7.円運動

答え: v_max = 15.34 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·60) = 15.34 m/s

答え

v_max = 15.34 m/s (55.24 km/h)

8.円運動

答え: T = 24.11 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·6.5²/1.1 = 4.905 + 19.2 = 24.11 N

答え

T = 24.11 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 3.111 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 45°) = 4.597 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·4.597/0.8 = 3.111 N

答え

T = 3.111 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 3.111 N。

10.仕事とエネルギー

答え: d = 2.111 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5/(4.905·(0.342 + 0.15·0.9397)) = 2.111 m

答え

d = 2.111 m

11.運動量と衝突

答え: v = 621 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 2.5)·1.981/0.008 = 621 m/s

答え

v = 621 m/s

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 28 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·11.5) = 10.62 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·10.62/1100 = 28 m/s

答え

v₁ = 28 m/s

(100.8 km/h)

13.ばねと振り子

答え: x = −2.272 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(110/1.6) = 8.292 rad/s

ω·t = 8.292·0.55 = 4.56 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(4.56) = −2.272 cm

答え

x = −2.272 cm

14.ばねと振り子

答え: a_max = 2.914 m/s²

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(60/3.5) = 4.14 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.17·4.14² = 2.914 m/s²

答え

a_max = 2.914 m/s²

15.波・音・光学

答え: d_i = −150 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −150 cm

16.波・音・光学

答え: d_i = 20 cm

焦点距離

f = R/2 = 10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 20 cm

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