物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 3.5 m/s² で一様に加速する。1700 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 5 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 9.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 30 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

自動車が、半径 35 m の円弧になっている道路の盛り上がりの頂上を通過する。g = 9.81 m/s² とする。どの速さ v_max を超えると、頂上で車輪が路面から離れるか。

r = 35 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.5 kg のボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 7.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgr = 1.3 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 120 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.5 である。停止距離 d を求めよ。

v = 120 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 0.8 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 1.5 kgL = 0.8 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.3 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 3.3 s、振幅 4 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 2.4 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 3.3 sA = 4 cmx = 2.4 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、38° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 38°n₂ = 1.00

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.47 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.48n₂ = 1.47n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: v = 109.1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1700) = 109.1 m/s

答え

v = 109.1 m/s

(392.7 km/h)

2.運動学

答え: d = 107.7 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1715))/(2·4.905) = 4.686 s

深さ

d = ½·9.81·4.686² = 107.7 m

答え

d = 107.7 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.206 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答え

a = 3.206 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 32.14 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/14.5 = 3.383 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9.5·3.383 + 0 = 32.14 N

答え

T = 32.14 N

5.放物運動

答え: H = 12.39 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 60° = 9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 60° = 15.59 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 15.59²/(2·9.81) = 12.39 m

答え

H = 12.39 m

6.放物運動

答え: H = 28.19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 30·sin 25° = 12.68 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 12.68²/(2·9.81) = 8.193 m

地面からの高さ

H = 20 + 8.193 = 28.19 m

答え

H = 28.19 m

7.円運動

答え: v_max = 18.53 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

垂直抗力 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·35) = 18.53 m/s

答え

v_max = 18.53 m/s

(66.71 km/h)

8.円運動

答え: T = 26.54 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·7.5²/1.3 = 4.905 + 21.63 = 26.54 N

答え

T = 26.54 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 113.3 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.5·9.81) = 113.3 m

答え

d = 113.3 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 13.25 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(5 − 0.15·3.5) = 21.95 J

最大縮み

½kx² = 21.95 → x = √(2·21.95/2500) = 0.1325 m = 13.25 cm

答え

x = 13.25 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 15 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·10 = 5 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·10 = 15 m/s

答え

v′₂ = 15 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 317.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 35°) = 0.1447 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1447) = 1.685 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.508·1.685/0.008 = 317.6 m/s

答え

v = 317.6 m/s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.4199 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.3/2π)² = 0.4199 m

答え

L = 0.4199 m

14.ばねと振り子

答え: t = 0.338 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = 2π/T = 2π/3.3 = 1.904 rad/s

時間について解く

0.6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.6) = 0.6435 rad

t = 0.6435/1.904 = 0.338 s

答え

t = 0.338 s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 1.624

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.6157 = 1.624

答え

n₁ = 1.624

16.波・音・光学

答え: θ_a = 9.89 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.47/1.48 = 0.9932 → θc = 83.34°

開口数

NA = √(1.48² − 1.47²) = 0.1718

受光角

θ_a = arcsin(0.1718) = 9.89°

答え

θ_a = 9.89°

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