物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 33 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 33 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 60 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 60 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

20° の斜面上にある質量 1.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 6 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。斜面には摩擦がない。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 6 kgθ = 20°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、90 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 55 m のがけの上から、ボールを 25 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 25 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 110 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 110 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.7 kg のボールを長さ 0.7 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.7 kgr = 0.7 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 30 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。停止距離 d を求めよ。

v = 30 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 4 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

水平に 13 m/s で動いている質量 17 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 4 kg の破片は前向きに 41 m/s で進み続ける。質量 13 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 17 kgu = 13 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 41 m/sm₂ = 13 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 25 m/s で走る質量 1000 kg の自動車が、北向きに 20 m/s で走る質量 1600 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 20 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

200 m/s で動く質量 10 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 0.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1500 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 10 gv = 200 m/sM = 0.5 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 1 m の距離でのレベルは 60 dB です。吸収と反射を無視して、5 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 60 dBr₁ = 1 mr₂ = 5 m

β₂ = dB

16.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、幅 0.05 mm の単スリットを通ります。2.5 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 589 nma = 0.05 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 12 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/5.5 = 12 s

答え

t = 12 s

その瞬間、パトカーは 2v = 66 m/s で走っています。

2.運動学

答え: y = 11.09 m

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

60 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 60/19 = 3.158 s

出会う高さ

y = 19·3.158 − ½·9.81·3.158² = 11.09 m

答え

y = 11.09 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.479 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

答え

a = 1.479 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 7.177 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 5.033 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系の加速度

a = (58.86 − 5.033 − 0)/7.5 = 7.177 m/s²

答え

a = 7.177 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 18.85 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/38² = 0.6114

位相角

2θ = 37.69° → θ = 18.85°

答え

θ = 18.85°

もう 1 つの解は 90° − θ = 71.15° です。

6.放物運動

答え: H = 60.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 25·sin 25° = 10.57 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 10.57²/(2·9.81) = 5.69 m

地面からの高さ

H = 55 + 5.69 = 60.69 m

答え

H = 60.69 m

7.円運動

答え: v_max = 27.48 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·110) = 27.48 m/s

答え

v_max = 27.48 m/s (98.94 km/h)

8.円運動

答え: T = 192.1 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·8.5²/0.7 = 16.68 + 175.5 = 192.1 N

答え

T = 192.1 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 5.056 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 30/3.6 = 8.333 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8.333²/(2·0.7·9.81) = 5.056 m

答え

d = 5.056 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 59.63 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.25·1.5) = 355.6 J

最大縮み

½kx² = 355.6 → x = √(2·355.6/2000) = 0.5963 m = 59.63 cm

答え

x = 59.63 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.385 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 17·13 = 221 kg·m/s

衝突後の運動量

221 = 4·41 + 13·v′₂

v′₂ = (221 − 164)/13 = 4.385 m/s

答え

v′₂ = 4.385 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 15.62 m/s

運動量の成分

p_x = 1000·25 = 25000 kg·m/s

p_y = 1600·20 = 32000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 40608/2600 = 15.62 m/s

答え

v′ = 15.62 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 2.287 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答え

T = 2.287 s

14.ばねと振り子

答え: A = 7.231 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.01·200/0.51 = 3.922 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/0.51) = 54.23 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.922/54.23 = 0.07231 m = 7.231 cm

答え

A = 7.231 cm

15.波・音・光学

答え: β₂ = 46.02 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (1/5)² = 0.04

新しいレベル

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.04) = 46.02 dB

答え

β₂ = 46.02 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

16.波・音・光学

答え: w = 58.9 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·2.5/(0.05 × 10⁻³) = 29.45 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 58.9 mm

答え

w = 58.9 mm

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