物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 3 m/s² で 11 s 加速し、次に 14 s 等速で走り、最後に 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 3 m/s²t₁ = 11 st₂ = 14 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 25° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

35° の斜面上にある質量 2 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 8.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 8.5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 18 m/s、水平から 55° 上向きに、25 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 18 m/sθ = 55°x = 25 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 30 m のがけの上から、ボールを 22 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 22 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

車が半径 55 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.4、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 55 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 220 m のカーブに 8° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 220 mθ = 8°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 10 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.1d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg の台車が、半径 2.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 7.5 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 0.5 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

水平に 11 m/s で動いている質量 6 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 3 kg の破片は前向きに 70 m/s で進み続ける。質量 3 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 6 kgu = 11 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 70 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 12 g の弾丸を、長さ 1.6 m の軽い糸でつり下げた質量 3.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 30° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 3.5 kgL = 1.6 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.2 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 20 N/m のばねにつけた質量 1.2 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 1.2 kgk = 20 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 1 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 1 m

f₁ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 550 nm の光が、1 ミリメートルあたり 500 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 3 の極大の角度 θ₃ を求めてください。

N = 500 mm⁻¹λ = 550 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 27.78 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5) = 27.78 m

答え

s = 27.78 m

2.運動学

答え: s = 752.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 3·11 = 33 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·3·11² = 181.5 m

s₂ = 33·14 = 462 m

s₃ = 33²/(2·5) = 108.9 m

全距離

s = 181.5 + 462 + 108.9 = 752.4 m

答え

s = 752.4 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 306.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 186.6 + 120 = 306.6 N

答え

F = 306.6 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 6.487 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 11.25 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.018 N

系の加速度

a = (83.39 − 11.25 − 4.018)/10.5 = 6.487 m/s²

答え

a = 6.487 m/s²

5.放物運動

答え: y = 6.944 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 18·cos 55° = 10.32 m/s

t = x/v_x = 25/10.32 = 2.421 s

その時刻での高さ

y = 14.74·2.421 − ½·9.81·2.421² = 6.944 m

答え

y = 6.944 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: α = 59.03 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y0 = 22·sin 40° = 14.14 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(14.14² + 2·9.81·30) = 28.08 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 28.08/16.85 → α = 59.03°

答え

α = 59.03°

7.円運動

答え: v_max = 14.69 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·55) = 14.69 m/s

答え

v_max = 14.69 m/s (52.89 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 29.56 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(220·9.81·0.3867/0.9555) = 29.56 m/s

答え

v_max = 29.56 m/s

(106.4 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 44.45 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.1·44.45 = 4.445 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 4.445·10 = 44.45 J

答え

W_f = 44.45 J

10.仕事とエネルギー

答え: N = 4.905 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²

最高点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·49.05/2.5 − 4.905 = 4.905 N

答え

N = 4.905 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −48 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 6·11 = 66 kg·m/s

衝突後の運動量

66 = 3·70 + 3·v′₂

v′₂ = (66 − 210)/3 = −48 m/s

答え

v′₂ = −48 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v = 600.2 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 30°) = 0.2144 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.2144) = 2.051 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 3.512·2.051/0.012 = 600.2 m/s

答え

v = 600.2 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 2.198 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.2/9.81) = 2.198 s

答え

T = 2.198 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 2.833 m/s²

角周波数

ω = √(20/1.2) = 4.082 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.17·4.082² = 2.833 m/s²

答え

a_max = 2.833 m/s²

15.波・音・光学

答え: f₁ = 85.75 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·1/1 = 4 m

振動数

f = v/λ = 343/4 = 85.75 Hz

答え

f₁ = 85.75 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₃ = 55.59 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 3·550 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0.825

θ = 55.59°

答え

θ₃ = 55.59°

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