物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 20 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 20 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

長さ 1.2 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 25° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。小球の速さ v を求めよ。

L = 1.2 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.2 kg のボールを長さ 1.2 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 7.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.2 kgr = 1.2 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 1.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 20° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 1.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 1.5 mL = 5 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1200 kg の自動車が、駐車中の質量 1600 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 12 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.8 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1600 kgd = 12 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.4 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 50 N/m のばねにつけた質量 3.6 kg の物体を、つり合いの位置から 20 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 3.6 kgk = 50 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 15 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 15 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

0.3 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。1 m 先のスクリーンで、5 番目の明線は中央の縞から 7.5 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.3 mmL = 1 my₅ = 7.5 mmm = 5

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 54.87 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4.5) = 54.87 m

答え

s = 54.87 m

2.運動学

答え: h_max = 58.4 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

地面からの高さ

h_max = 40 + 18.4 = 58.4 m

答え

h_max = 58.4 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.368 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答え

a = 2.368 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 22.85 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 10.79)/8.5 = 2.193 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·2.193 + 10.79 = 22.85 N

答え

T = 22.85 N

5.放物運動

答え: H = 5.862 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8.999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10.72 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 10.72²/(2·9.81) = 5.862 m

答え

H = 5.862 m

6.放物運動

答え: x = 71.67 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13.77 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 13.77·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.77 + √(189.5 + 294.3))/9.81 = 3.645 s

水平距離

x = v_x·t = 19.66·3.645 = 71.67 m

答え

x = 71.67 m

7.円運動

答え: v = 1.523 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.2·sin 25° = 0.5071 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5071·9.81·tan 25°) = 1.523 m/s

答え

v = 1.523 m/s

8.円運動

答え: T = 68.02 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·7.5²/1.2 = 11.77 + 56.25 = 68.02 N

答え

T = 68.02 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 5.497 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 20°) = 1.775 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·1.775/1.5 = 5.497 N

答え

T = 5.497 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 5.497 N。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 27.12 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(1.5 − 0.15·5) = 36.79 J

最大縮み

½kx² = 36.79 → x = √(2·36.79/1000) = 0.2712 m = 27.12 cm

答え

x = 27.12 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 1.882 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 4.5)/(4 + 4.5)·2 = −0.1176 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4.5)·2 = 1.882 m/s

答え

v′₂ = 1.882 m/s

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 32.02 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·12) = 13.72 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·13.72/1200 = 32.02 m/s

答え

v₁ = 32.02 m/s

(115.3 km/h)

13.ばねと振り子

答え: L = 0.487 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

答え

L = 0.487 m

14.ばねと振り子

答え: a_max = 2.778 m/s²

角周波数

ω = √(50/3.6) = 3.727 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.2·3.727² = 2.778 m/s²

答え

a_max = 2.778 m/s²

15.波・音・光学

答え: d_i = 60 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/15

d_i = 60 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 60 cm

16.波・音・光学

答え: λ = 450 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.0075·0.0003/(5·1) = 4.5 × 10⁻⁷ m = 450 nm

答え

λ = 450 nm

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