物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.4 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 80 km/ht_r = 1.4 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 15 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 15 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 27 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

長さ 0.8 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 40° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 0.8 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

長さ 1 m の軽い糸につけた質量 1.3 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 11.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 1.3 kgr = 1 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 18 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 4 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0.15k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 18 m/sv_out = 10 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

周期が 1.8 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 1.8 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

k = 200 N/m のばねにつけた質量 2.2 kg の物体を、つり合いの位置から 8 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 2.2 kgk = 200 N/mA = 8 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

高さ 2 cm の物体が、焦点距離 10 cm の薄い収束レンズの 20 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 2 cmd_o = 20 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.62、クラッドは n₂ = 1.54 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.62n₂ = 1.54n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 72.26 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 22.22·1.4 = 31.11 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

合計

d = 31.11 + 41.15 = 72.26 m

答え

d = 72.26 m

2.運動学

答え: t = 1 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

15 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 15/15 = 1 s

答え

t = 1 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 7.357 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 2.453)/2.5 = 4.905 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·4.905 + 2.453 = 7.357 N

答え

T = 7.357 N

5.放物運動

答え: H = 48.4 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 65° = 14.37 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 65° = 30.81 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 30.81²/(2·9.81) = 48.4 m

答え

H = 48.4 m

6.放物運動

答え: α = 43.05 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 27·cos 25° = 24.47 m/s

v_y0 = 27·sin 25° = 11.41 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.41² + 2·9.81·20) = 22.86 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 22.86/24.47 → α = 43.05°

答え

α = 43.05°

7.円運動

答え: T = 1.57 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 0.8·sin 40° = 0.5142 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5142·9.81·tan 40°) = 2.057 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5142/2.057 = 1.57 s

答え

T = 1.57 s

8.円運動

答え: T_top = 108.2 N

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 11.5² − 4·9.81·1 = 93.01 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.3·93.01/1 − 1.3·9.81 = 108.2 N

答え

T_top = 108.2 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 10.06 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 10.06 m/s

答え

v = 10.06 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: v = 6.862 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.15·4) = 94.18 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.4) = 6.862 m/s

答え

v = 6.862 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1.5 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·3 = 1.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·3 = 4.5 m/s

答え

v′₁ = 1.5 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 4.2 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(10 + 18) = 4.2 N·s

答え

J = 4.2 N·s

13.ばねと振り子

答え: L = 0.8051 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.8/2π)² = 0.8051 m

答え

L = 0.8051 m

14.ばねと振り子

答え: E = 0.64 J

角周波数

ω = √(200/2.2) = 9.535 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·200·0.08² = 0.64 J

答え

E = 0.64 J

15.波・音・光学

答え: h_i = −2 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

倍率と高さ

m = −20/20 = −1

h_i = −1·2 = −2 cm

答え

h_i = −2 cm

16.波・音・光学

答え: θ_a = 30.18 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.54/1.62 = 0.9506 → θc = 71.92°

開口数

NA = √(1.62² − 1.54²) = 0.5028

受光角

θ_a = arcsin(0.5028) = 30.18°

答え

θ_a = 30.18°

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