物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.5 m/s² で一様に加速する。1400 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.5 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.1 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg と 7.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 7.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 7 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 9.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 32 m/s で打ち出し、90 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 32 m/sR = 90 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 5 m のがけの上から、ボールを 29 m/s、水平から 60° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 29 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.円運動ふつう

車が半径 70 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.2 kg のボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 4.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.2 kgr = 0.9 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 2 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 16 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.35d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.3 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

水平に 24 m/s で動いている質量 5 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 2 kg の破片は前向きに 80 m/s で進み続ける。質量 3 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 5 kgu = 24 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 80 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 1200 kg の自動車が、駐車中の質量 1500 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 13.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1200 kgm₂ = 1500 kgd = 13.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 240 N/m のばねにつけた質量 2.8 kg のおもりを正の向きに 8 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.6 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 2.8 kgk = 240 N/mA = 8 cmt = 0.6 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 290 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 2.6 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 2.6 kgk = 290 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1000 Hz の音源に向かって 5 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 24 cm の凹面鏡の 4 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 4 cmR = 24 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: v = 83.67 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.5·1400) = 83.67 m/s

答え

v = 83.67 m/s

(301.2 km/h)

2.運動学

答え: d = 43.37 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1063))/(2·4.905) = 2.974 s

深さ

d = ½·9.81·2.974² = 43.37 m

答え

d = 43.37 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 75.95 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (8 − 7.5)·9.81/(8 + 7.5) = 0.3165 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 7.5·(9.81 + 0.3165) = 75.95 N

答え

T = 75.95 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.207 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 34.33 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.947 N

系の加速度

a = (93.2 − 34.33 − 5.947)/16.5 = 3.207 m/s²

答え

a = 3.207 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 29.78 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·90/32² = 0.8622

位相角

2θ = 59.57° → θ = 29.78°

答え

θ = 29.78°

もう 1 つの解は 90° − θ = 60.22° です。

6.放物運動

答え: α = 61.76 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 29·cos 60° = 14.5 m/s

v_y0 = 29·sin 60° = 25.11 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(25.11² + 2·9.81·5) = 27 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 27/14.5 → α = 61.76°

答え

α = 61.76°

7.円運動

答え: v_max = 20.3 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

答え

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.円運動

答え: T = 6.462 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·4.5²/0.9 = 1.962 + 4.5 = 6.462 N

答え

T = 6.462 N

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 84.17 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.766 = 15.03 N

F = μN = 0.35·15.03 = 5.26 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 5.26·16 = 84.17 J

答え

W_f = 84.17 J

10.仕事とエネルギー

答え: d = 2.676 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·2000·0.12² = 14.4 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14.4/(9.81·(0.2588 + 0.3·0.9659)) = 2.676 m

答え

d = 2.676 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −13.33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 5·24 = 120 kg·m/s

衝突後の運動量

120 = 2·80 + 3·v′₂

v′₂ = (120 − 160)/3 = −13.33 m/s

答え

v′₂ = −13.33 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 31.71 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·13.5) = 14.09 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·14.09/1200 = 31.71 m/s

答え

v₁ = 31.71 m/s

(114.2 km/h)

13.ばねと振り子

答え: x = 5.971 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(240/2.8) = 9.258 rad/s

ω·t = 9.258·0.6 = 5.555 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(5.555) = 5.971 cm

答え

x = 5.971 cm

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.9289 m/s

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 2.6·9.81/290 = 0.08795 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(290/2.6) = 10.56 rad/s

v_max = A·ω = 0.08795·10.56 = 0.9289 m/s

答え

v_max = 0.9289 m/s

15.波・音・光学

答え: f′ = 1015 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 1015 Hz

答え

f′ = 1015 Hz

16.波・音・光学

答え: m = 1.5

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 12 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/4

d_i = −6 cm

倍率

m = −(−6)/4 = 1.5

答え

m = 1.5

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