物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.9 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9.5 kg と 2.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 0.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 30 m のがけの上から、ボールを 17 m/s、水平から 40° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

長さ 1.1 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 60° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 1.1 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

半径 90 m のカーブに 25° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 90 mθ = 25°μ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 30° をなす斜面を 14 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.1d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 4000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 14 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 14 m/sv_out = 16 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 0.7 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 0.7 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 170 N/m のばねにつけた質量 2 kg の物体を、つり合いの位置から 4 cm 引いて静かに放す。最大の加速度 a_max を求めよ。

m = 2 kgk = 170 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

15.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.52、クラッドは n₂ = 1.47 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.52n₂ = 1.47

NA =

3溶液

1.運動学

答え: d = 61.15 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.9 = 20 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

合計

d = 20 + 41.15 = 61.15 m

答え

d = 61.15 m

2.運動学

答え: d = 103.7 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1681))/(2·4.905) = 4.598 s

深さ

d = ½·9.81·4.598² = 103.7 m

答え

d = 103.7 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.723 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (9.5 − 2.5)·9.81/(9.5 + 2.5) = 5.723 m/s²

答え

a = 5.723 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.717 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 1.472)/2 = 1.717 m/s²

答え

a = 1.717 m/s²

5.放物運動

答え: x = 50.85 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20.78 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·20.78/9.81 = 4.237 s

水平距離

x = v_x·t = 12·4.237 = 50.85 m

答え

x = 50.85 m

6.放物運動

答え: H = 36.09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 17·sin 40° = 10.93 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 10.93²/(2·9.81) = 6.086 m

地面からの高さ

H = 30 + 6.086 = 36.09 m

答え

H = 36.09 m

7.円運動

答え: T = 1.488 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 1.1·sin 60° = 0.9526 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.9526·9.81·tan 60°) = 4.023 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.9526/4.023 = 1.488 s

答え

T = 1.488 s

8.円運動

答え: v_max = 28.05 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(90·9.81·0.6945/0.7795) = 28.05 m/s

答え

v_max = 28.05 m/s

(101 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 5.947 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N

F = μN = 0.1·4.248 = 0.4248 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 0.4248·14 = 5.947 J

答え

W_f = 5.947 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 5.86 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.2·3) = 6.867 J

最大縮み

½kx² = 6.867 → x = √(2·6.867/4000) = 0.0586 m = 5.86 cm

答え

x = 5.86 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 11.2 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·12 = −0.8 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·12 = 11.2 m/s

答え

v′₂ = 11.2 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 15 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(16 + 14) = 15 N·s

答え

J = 15 N·s

13.ばねと振り子

答え: T = 1.678 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(0.7/9.81) = 1.678 s

答え

T = 1.678 s

14.ばねと振り子

答え: a_max = 3.4 m/s²

角周波数

ω = √(170/2) = 9.22 rad/s

最大の加速度

a_max = A·ω² = 0.04·9.22² = 3.4 m/s²

答え

a_max = 3.4 m/s²

15.波・音・光学

答え: θ_c = 62.46 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.50 = 0.8867

臨界角

θc = arcsin(0.8867) = 62.46°

答え

θ_c = 62.46°

16.波・音・光学

答え: NA = 0.3867

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.47/1.52 = 0.9671 → θc = 75.26°

開口数

NA = √(1.52² − 1.47²) = 0.3867

答え

NA = 0.3867

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