物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 5 s 加速し、次に 11 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 5 st₂ = 11 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 28 m/s、水平から 45° 上向きに、16 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 28 m/sθ = 45°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 60° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

遊園地のローターでは、乗客が半径 3 m の鉛直な円筒の壁に背をつけて立つ。十分速く回転すると床が下がり、摩擦が乗客を支える。静止摩擦係数は 0.6 である。g = 9.81 m/s² とする。最小の角速度 ω を rad/s で求めよ。

r = 3 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.円運動むずかしい

質量 4.5 kg の台車を、摩擦のない軌道上の高さ 24.75 m から静かに放し、半径 7.5 m の鉛直なループを通過させる。g = 9.81 m/s² とする。ループの最下点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N_bottom を求めよ。

m = 4.5 kgh = 24.75 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 110 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.6 である。停止距離 d を求めよ。

v = 110 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 4.5 mL = 2 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

22 m/s で動いている質量 1400 kg の自動車が、静止している質量 1600 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1400 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 29 m/sv_out = 7 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

k = 20 N/m のばねにつけた質量 1.4 kg のおもりを正の向きに 7 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.9 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 1.4 kgk = 20 N/mA = 7 cmt = 0.9 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

350 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 0.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1300 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 350 m/sM = 0.5 kgk = 1300 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

光がダイヤモンド（n = 2.42）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 2.42n₂ = 1.33

θ_c = °

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.5、クラッドは n₂ = 1.47 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.5n₂ = 1.47

NA =

3溶液

1.運動学

答え: s = 55.11 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7) = 55.11 m

答え

s = 55.11 m

2.運動学

答え: s = 71.67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·5 = 5 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·1·5² = 12.5 m

s₂ = 5·11 = 55 m

s₃ = 5²/(2·3) = 4.167 m

全距離

s = 12.5 + 55 + 4.167 = 71.67 m

答え

s = 71.67 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.972 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答え

a = 1.972 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 24.29 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0)/10.5 = 3.737 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.737 + 0 = 24.29 N

答え

T = 24.29 N

5.放物運動

答え: y = 12.8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 28·cos 45° = 19.8 m/s

t = x/v_x = 16/19.8 = 0.8081 s

その時刻での高さ

y = 19.8·0.8081 − ½·9.81·0.8081² = 12.8 m

答え

y = 12.8 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: H = 35.22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 23·sin 60° = 19.92 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 19.92²/(2·9.81) = 20.22 m

地面からの高さ

H = 15 + 20.22 = 35.22 m

答え

H = 35.22 m

7.円運動

答え: ω = 2.335 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乗客に働く力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3)) = 2.335 rad/s

答え

ω = 2.335 rad/s

8.円運動

答え: N_bottom = 335.5 N

エネルギー保存からの速さ

v² = 2·9.81·24.75 = 485.6 m²/s²

力

中心に向かう向きを正とします。

N = m·v²/R + m·g = 4.5·485.6/7.5 + 44.15 = 335.5 N

答え

N_bottom = 335.5 N

9.仕事とエネルギー

答え: d = 79.31 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.6·9.81) = 79.31 m

答え

d = 79.31 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

10.仕事とエネルギー

答え: x = 64.95 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4.5 − 0.1·2) = 210.9 J

最大縮み

½kx² = 210.9 → x = √(2·210.9/1000) = 0.6495 m = 64.95 cm

答え

x = 64.95 cm

11.運動量と衝突

答え: ΔK = 180693 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·22/3000 = 10.27 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1400·22² = 338800 J

K_after = ½·3000·10.27² = 158107 J

失われたエネルギー

ΔK = 338800 − 158107 = 180693 J

答え

ΔK = 180693 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 630 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(7 + 29) = 12.6 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 12.6/0.02 = 630 N

答え

F_avg = 630 N

13.ばねと振り子

答え: x = −6.765 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(20/1.4) = 3.78 rad/s

ω·t = 3.78·0.9 = 3.402 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(3.402) = −6.765 cm

答え

x = −6.765 cm

14.ばねと振り子

答え: A = 20.29 cm

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/0.515 = 10.19 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1300/0.515) = 50.24 rad/s

振幅

A = V/ω = 10.19/50.24 = 0.2029 m = 20.29 cm

答え

A = 20.29 cm

15.波・音・光学

答え: θ_c = 33.34 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/2.42 = 0.5496

臨界角

θc = arcsin(0.5496) = 33.34°

答え

θ_c = 33.34°

16.波・音・光学

答え: NA = 0.2985

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.47/1.5 = 0.98 → θc = 78.52°

開口数

NA = √(1.5² − 1.47²) = 0.2985

答え

NA = 0.2985

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics