物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 18 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 9.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 7 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 7 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 35° 上向きに打ち出すと、40 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 35°R = 40 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 80 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 80 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 190 m のカーブに 15° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 190 mθ = 15°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg の小球が長さ 1.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 5 kgL = 1.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

40° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.3 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 40°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

水平に 6 m/s で動いている質量 5 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 3 kg の破片は前向きに 55 m/s で進み続ける。質量 2 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 5 kgu = 6 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 55 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 20 m/s で壁に当たり、14 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 20 m/sv_out = 14 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

周期が 2.1 s になる単振り子の長さはいくらか。g = 9.81 m/s² として、L を求めよ。

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.ばねと振り子むずかしい

350 m/s で動く質量 15 g の弾丸が、摩擦のない面上に静止している質量 1.5 kg の木片に当たってとどまる。木片は k = 1900 N/m の水平なばねにつながれている。生じる振動の振幅 A を cm で求めよ。

m = 15 gv = 350 m/sM = 1.5 kgk = 1900 N/m

A = cm

15.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1200 Hz の音源から遠ざかるように 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 405 nm の光が、1 ミリメートルあたり 100 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 100 mm⁻¹λ = 405 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: s = 89.29 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·3.5) = 89.29 m

答え

s = 89.29 m

2.運動学

答え: t = 4.593 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−30 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 30 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.593 s

答え

t = 4.593 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.421 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.15·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1229) = 4.421 m/s²

答え

a = 4.421 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.8486 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 46.6 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.071 N

系の加速度

a = (68.67 − 46.6 − 8.071)/16.5 = 0.8486 m/s²

答え

a = 0.8486 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 20.43 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·40/sin 70°) = 20.43 m/s

答え

v₀ = 20.43 m/s

6.放物運動

答え: x = 84.21 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 30° = 23.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 30° = 13.5 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 13.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.5 + √(182.2 + 294.3))/9.81 = 3.601 s

水平距離

x = v_x·t = 23.38·3.601 = 84.21 m

答え

x = 84.21 m

7.円運動

答え: v_max = 21.7 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·80) = 21.7 m/s

答え

v_max = 21.7 m/s (78.12 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 28.49 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(190·9.81·0.4037/0.9271) = 28.49 m/s

答え

v_max = 28.49 m/s

(102.6 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: T = 84.09 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 50°) = 10.51 m²/s²

最下点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·10.51/1.5 = 84.09 N

答え

T = 84.09 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 84.09 N。

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.4206 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·1000·0.12² = 7.2 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7.2/(19.62·(0.6428 + 0.3·0.766)) = 0.4206 m

答え

d = 0.4206 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −67.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 5·6 = 30 kg·m/s

衝突後の運動量

30 = 3·55 + 2·v′₂

v′₂ = (30 − 165)/2 = −67.5 m/s

答え

v′₂ = −67.5 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 136 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(14 + 20) = 3.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 3.4/0.025 = 136 N

答え

F_avg = 136 N

13.ばねと振り子

答え: L = 1.096 m

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

長さを求める

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

答え

L = 1.096 m

14.ばねと振り子

答え: A = 9.785 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

衝突後の速さ

V = m·v/(m + M) = 0.015·350/1.515 = 3.465 m/s

角周波数

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/1.515) = 35.41 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.465/35.41 = 0.09785 m = 9.785 cm

答え

A = 9.785 cm

15.波・音・光学

答え: f′ = 1130 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1200·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 1130 Hz

答え

f′ = 1130 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 2.321 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/100 mm = 1 × 10⁻⁵ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·405 × 10⁻⁹/(1 × 10⁻⁵) = 0.0405

θ = 2.321°

答え

θ₁ = 2.321°

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