物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 20 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 20 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 30 m/s で打ち出し、55 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 30 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 140 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.8、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 140 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.2 kg のボールを長さ 0.7 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。斜面に沿って 4 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

40° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 3 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、12 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 13 m/s で走る質量 1600 kg の自動車が、北向きに 17 m/s で走る質量 1300 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1600 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 470 N/m のばねにつけた質量 2.6 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 13 cm で振動する。つり合いの位置から 7 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 2.6 kgk = 470 N/mA = 13 cmx = 7 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 220 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 0.8 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 0.8 kgk = 220 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 1 m で、その上を波が 300 m/s で伝わります。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 300 m/sn = 1L = 1 m

f₁ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凸面鏡の 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 25 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 28.57 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7) = 28.57 m

答え

s = 28.57 m

2.運動学

答え: t = 5.528 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 20·1 = 20 m/s

h₁ = ½·20·1² = 10 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (20 + √(20² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.528 s

t = 1 + 4.528 = 5.528 s

答え

t = 5.528 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 199.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 114.3 + 85.28 = 199.5 N

答え

F = 199.5 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 26.72 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 6.377)/10.5 = 3.13 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·3.13 + 6.377 = 26.72 N

答え

T = 26.72 N

5.放物運動

答え: θ = 18.42 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/30² = 0.5995

位相角

2θ = 36.83° → θ = 18.42°

答え

θ = 18.42°

もう 1 つの解は 90° − θ = 71.58° です。

6.放物運動

答え: x = 91.75 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 20° = 21.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 20° = 7.866 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 7.866·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.866 + √(61.88 + 1079))/9.81 = 4.245 s

水平距離

x = v_x·t = 21.61·4.245 = 91.75 m

答え

x = 91.75 m

7.円運動

答え: v_max = 33.15 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·140) = 33.15 m/s

答え

v_max = 33.15 m/s (119.3 km/h)

8.円運動

答え: T = 121.5 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·8²/0.7 = 11.77 + 109.7 = 121.5 N

答え

T = 121.5 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 3.922 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·4·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 3.922 m/s

答え

v = 3.922 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: d = 0.6147 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·2000·0.12² = 14.4 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14.4/(29.43·(0.6428 + 0.2·0.766)) = 0.6147 m

答え

d = 0.6147 m

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = 9 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 0.5)/(3.5 + 0.5)·12 = 9 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 0.5)·12 = 21 m/s

答え

v′₁ = 9 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 10.47 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1600·13 = 20800 kg·m/s

p_y = 1300·17 = 22100 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 30349/2900 = 10.47 m/s

答え

v′ = 10.47 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = 1.473 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(470/2.6) = 13.45 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 13.45·√(0.13² − 0.07²) = 1.473 m/s

答え

v = 1.473 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 0.5916 m/s

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 0.8·9.81/220 = 0.03567 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(220/0.8) = 16.58 rad/s

v_max = A·ω = 0.03567·16.58 = 0.5916 m/s

答え

v_max = 0.5916 m/s

15.波・音・光学

答え: f₁ = 150 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1/1 = 2 m

振動数

f = v/λ = 300/2 = 150 Hz

答え

f₁ = 150 Hz

16.波・音・光学

答え: d_i = −7.143 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = −R/2 = −10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/25

d_i = −7.143 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −7.143 cm

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