物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2 m/s² で一様に加速する。1100 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1100 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 2.5 s の間、一定の上向きの加速度 34 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 34 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 35 kg のそりを、水平から 25° 上向きのロープで、200 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 35 kgF = 200 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 8 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8 m/sθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 65 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 65 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 1.9 kg のボールを長さ 1 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 5.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.9 kgr = 1 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 1 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 70° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 1 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 2.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 8 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

水平に 11 m/s で動いている質量 5 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 4 kg の破片は前向きに 56 m/s で進み続ける。質量 1 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 5 kgu = 11 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 10 g の弾丸を、長さ 1.7 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 10° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 2 kgL = 1.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.8 m の単振り子の小さな振れの周期が 6.62 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.8 mT = 6.62 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.9 s、振幅 12 cm で単振動をしている。つり合いの位置から変位 9 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.9 sA = 12 cmx = 9 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.6 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 0.6 m

f₁ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 650 nm の光が、0.25 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.5 m 先にあります。中央の明線から 1 番目の明線までの距離 y₁ を求めてください。

λ = 650 nmd = 0.25 mmL = 1.5 mm = 1

y₁ = mm

3溶液

1.運動学

答え: v = 66.33 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2·1100) = 66.33 m/s

答え

v = 66.33 m/s

(238.8 km/h)

2.運動学

答え: h_max = 474.5 m

動力飛行段階

v₁ = 34·2.5 = 85 m/s

h₁ = ½·34·2.5² = 106.3 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 85²/(2·9.81) = 368.2 m

h_max = 106.3 + 368.2 = 474.5 m

答え

h_max = 474.5 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.7 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 200·sin 25° = 258.8 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 181.3 − 51.77

a = 129.5/35 = 3.7 m/s²

答え

a = 3.7 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 6.52 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.25·cos 15°) = 4.908 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·4.908) = 6.52 m

答え

d = 6.52 m

5.放物運動

答え: x = 55.17 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 35° = 19.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 35° = 13.77 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·13.77/9.81 = 2.806 s

水平距離

x = v_x·t = 19.66·2.806 = 55.17 m

答え

x = 55.17 m

6.放物運動

答え: t = 5.046 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19.8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19.8 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 19.8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.8 + √(392 + 490.5))/9.81 = 5.046 s

答え

t = 5.046 s

7.円運動

答え: v_max = 13.83 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·65) = 13.83 m/s

答え

v_max = 13.83 m/s (49.79 km/h)

8.円運動

答え: T = 76.11 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·5.5²/1 = 18.64 + 57.47 = 76.11 N

答え

T = 76.11 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 11.36 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 70°) = 12.91 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·12.91/1 = 11.36 N

答え

T = 11.36 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 11.36 N。

10.仕事とエネルギー

答え: N = 68.67 N

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/2.5 − 49.05 = 68.67 N

答え

N = 68.67 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = −169 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 5·11 = 55 kg·m/s

衝突後の運動量

55 = 4·56 + 1·v′₂

v′₂ = (55 − 224)/1 = −169 m/s

答え

v′₂ = −169 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v = 143.1 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.7·(1 − cos 10°) = 0.02583 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.02583) = 0.7118 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.01·0.7118/0.01 = 143.1 m/s

答え

v = 143.1 m/s

13.ばねと振り子

答え: g = 1.621 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.8/6.62² = 1.621 m/s²

答え

g = 1.621 m/s²

14.ばねと振り子

答え: t = 0.3914 s

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.9 = 2.167 rad/s

時間について解く

0.75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.75) = 0.8481 rad

t = 0.8481/2.167 = 0.3914 s

答え

t = 0.3914 s

15.波・音・光学

答え: f₁ = 285.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.6/1 = 1.2 m

振動数

f = v/λ = 343/1.2 = 285.8 Hz

答え

f₁ = 285.8 Hz

16.波・音・光学

答え: y₁ = 3.9 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1.5/(0.25 × 10⁻³) = 3.9 mm

1 番目の縞

y₁ = 1·3.9 = 3.9 mm

答え

y₁ = 3.9 mm

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