物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 29 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 29 m/sa_police = 5.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 25 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球は地面からどれだけの高さ y で出会うか。

H = 25 mv_0B = 16 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 50 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 50 kgθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 32 m/s、水平から 35° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 2 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 50 m のカーブに 15° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車が外側上方へすべり出さずにカーブを通過できる最高の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mθ = 15°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.15 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.15 kgk = 1000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 3.5 mL = 2 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.45 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.45 kgv_in = 15 m/sv_out = 15 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

k = 160 N/m のばねにつけた質量 1.5 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 15 cm で振動する。つり合いの位置から 8 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.5 kgk = 160 N/mA = 15 cmx = 8 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 40 N/m の伸びていない鉛直なばねの下端に質量 1 kg のおもりをつけ、静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの最大の速さ v_max を求めよ。

m = 1 kgk = 40 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦は、200 m/s で波が伝わる中で、第 5 倍音が 333 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 200 m/sn = 5f₅ = 333 Hz

L = m

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.52、クラッドは n₂ = 1.44 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.52n₂ = 1.44

NA =

3溶液

1.運動学

答え: d = 305.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/5.5 = 10.55 s

距離

d = v·t = 29·10.55 = 305.8 m

答え

d = 305.8 m

その瞬間、パトカーは 2v = 58 m/s で走っています。

2.運動学

答え: y = 13.02 m

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

25 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 25/16 = 1.563 s

出会う高さ

y = 16·1.563 − ½·9.81·1.563² = 13.02 m

答え

y = 13.02 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 221.7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 127 + 94.76 = 221.7 N

答え

F = 221.7 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.308 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/8.5 = 2.308 m/s²

答え

a = 2.308 m/s²

5.放物運動

答え: x = 21.23 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 70° = 6.156 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 70° = 16.91 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·16.91/9.81 = 3.448 s

水平距離

x = v_x·t = 6.156·3.448 = 21.23 m

答え

x = 21.23 m

6.放物運動

答え: x = 95.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 26.21 m/s, v_y = 18.35 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

2 = 18.35·t − 4.905·t²

t = (18.35 + √(18.35² − 2·9.81·2))/9.81 = 3.63 s

水平距離

x = v_x·t = 26.21·3.63 = 95.14 m

答え

x = 95.14 m

7.円運動

答え: v_max = 18.53 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·50) = 18.53 m/s

答え

v_max = 18.53 m/s (66.71 km/h)

8.円運動

答え: v_max = 13.62 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を下る向きです。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(50·9.81·0.3554/0.94) = 13.62 m/s

答え

v_max = 13.62 m/s

(49.02 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: h = 2.175 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·1000·0.08² = 3.2 J

高さ

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 3.2/1.472 = 2.175 m

答え

h = 2.175 m

10.仕事とエネルギー

答え: x = 34.31 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(3.5 − 0.25·2) = 147.2 J

最大縮み

½kx² = 147.2 → x = √(2·147.2/2500) = 0.3431 m = 34.31 cm

答え

x = 34.31 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.4444 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·4 = −0.4444 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·4 = 3.556 m/s

答え

v′₁ = −0.4444 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 2700 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.45·(15 + 15) = 13.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 13.5/0.005 = 2700 N

答え

F_avg = 2700 N

13.ばねと振り子

答え: v = 1.31 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(160/1.5) = 10.33 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 10.33·√(0.15² − 0.08²) = 1.31 m/s

答え

v = 1.31 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.551 m/s

つり合いの位置と振幅

x₀ = m·g/k = 1·9.81/40 = 0.2453 m = A

最大の速さ

速さはつり合いの位置で最大になります。

ω = √(40/1) = 6.325 rad/s

v_max = A·ω = 0.2453·6.325 = 1.551 m/s

答え

v_max = 1.551 m/s

15.波・音・光学

答え: L = 1.502 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 200/333 = 0.6006 m

長さ

L = nλ/2 = 5·0.6006/2 = 1.502 m

答え

L = 1.502 m

16.波・音・光学

答え: NA = 0.4866

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.44/1.52 = 0.9474 → θc = 71.33°

開口数

NA = √(1.52² − 1.44²) = 0.4866

答え

NA = 0.4866

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