物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 26 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 26 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 7.5 m/s ですべり、29 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 7.5 m/sd = 29 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

20° の斜面上にある質量 3.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 8 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 8 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 60 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 50 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 50 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.6 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.6 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.1 kg のボールをその上に置き、ばねを 10 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックが 20° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 85 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.2 である。ブロックが斜面を 4 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 10 kgF = 85 Nθ = 20°μ = 0.2d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 1 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 0.9 m の軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 35° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2.5 kgL = 0.9 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 2.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 2.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 160 N/m のばねにつけた質量 1.7 kg の物体を、つり合いの位置から 17 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 1.7 kgk = 160 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 50 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 60 cm の凹面鏡の 5 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 5 cmR = 60 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 300.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/4.5 = 11.56 s

距離

d = v·t = 26·11.56 = 300.4 m

答え

d = 300.4 m

その瞬間、パトカーは 2v = 52 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 4.546 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−15 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 15 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.546 s

答え

t = 4.546 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.09886

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·29) = 0.9698 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9698/9.81 = 0.09886

答え

μ = 0.09886

4.ニュートンの法則

答え: T = 34.3 N

糸に沿った力

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 11.74 N

μ·m₁·g·cos θ = 3.226 N

系の加速度

a = (78.48 − 11.74 − 3.226)/11.5 = 5.523 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 5.523) = 34.3 N

答え

T = 34.3 N

5.放物運動

答え: t = 2.307 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·11.31/9.81 = 2.307 s

答え

t = 2.307 s

6.放物運動

答え: t = 4.059 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 20° = 14.1 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 20° = 5.13 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 60 + 5.13·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.13 + √(26.32 + 1177))/9.81 = 4.059 s

答え

t = 4.059 s

7.円運動

答え: v_max = 12.13 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·50) = 12.13 m/s

答え

v_max = 12.13 m/s (43.67 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.426 m/s

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.6) = 2.426 m/s

答え

v_min = 2.426 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: h = 5.097 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

高さ

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 5/0.981 = 5.097 m

答え

h = 5.097 m

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.139 m/s

斜面に沿った力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 33.55 N

μ·mg·cos θ = 18.44 N

仕事とエネルギー

½mv² = (85 − 51.99)·4 = 132 J

v = √(2·132/10) = 5.139 m/s

答え

v = 5.139 m/s

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −2.143 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1 − 2.5)/(1 + 2.5)·5 = −2.143 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 2.5)·5 = 2.857 m/s

答え

v′₁ = −2.143 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: v = 225.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 35°) = 0.1628 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1628) = 1.787 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.52·1.787/0.02 = 225.2 m/s

答え

v = 225.2 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.108 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(2.4/9.81) = 3.108 s

答え

T = 3.108 s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.649 m/s

角周波数

ω = √(160/1.7) = 9.701 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.17·9.701 = 1.649 m/s

答え

v_max = 1.649 m/s

15.波・音・光学

答え: d_i = 15.79 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/50

d_i = 15.79 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 15.79 cm

16.波・音・光学

答え: d_i = −6 cm

焦点距離

f = R/2 = 30 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/5

d_i = −6 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −6 cm

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