物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 22 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 22 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 32 m/s、水平から 35° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 9 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 35°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

半径 280 m のカーブに 18° のバンク（傾斜）がついている。摩擦をまったく必要とせずに自動車が通過できる速さ v はいくらか。g = 9.81 m/s² とする。

r = 280 mθ = 18°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 1.3 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 9 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

25° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 16 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 16 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 270 N/m のばねにつけた質量 2.1 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 11 cm で振動する。つり合いの位置から 7 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 2.1 kgk = 270 N/mA = 11 cmx = 7 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 30 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 13 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 10 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 30 N/mA = 13 cmx = 10 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 5 cm の薄い収束レンズの 20 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 20 cmf = 5 cm

m =

16.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: t = 1.429 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/7 = 1.429 s

答え

t = 1.429 s

2.運動学

答え: h_max = 35.67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 22·1 = 22 m/s

h₁ = ½·22·1² = 11 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 22²/(2·9.81) = 24.67 m

h_max = 11 + 24.67 = 35.67 m

答え

h_max = 35.67 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 14.45 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 3.679)/7 = 7.182 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.182 + 3.679 = 14.45 N

答え

T = 14.45 N

5.放物運動

答え: x = 79.96 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13.52 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·13.52/9.81 = 2.757 s

水平距離

x = v_x·t = 29·2.757 = 79.96 m

答え

x = 79.96 m

6.放物運動

答え: x = 82.88 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 26.21 m/s, v_y = 18.35 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

9 = 18.35·t − 4.905·t²

t = (18.35 + √(18.35² − 2·9.81·9))/9.81 = 3.162 s

水平距離

x = v_x·t = 26.21·3.162 = 82.88 m

答え

x = 82.88 m

7.円運動

答え: v = 29.87 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速さ

v = √(r·g·tan θ) = √(280·9.81·tan 18°) = 29.87 m/s

答え

v = 29.87 m/s

(107.5 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 3.571 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.3) = 3.571 m/s

答え

v_min = 3.571 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 12 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.15·8.891 = 1.334 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.334·9 = 12 J

答え

W_f = 12 J

10.仕事とエネルギー

答え: d = 5.958 m

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(4.905·(0.4226 + 0.1·0.9063)) = 5.958 m

答え

d = 5.958 m

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 9.333 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·8 = 1.333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·8 = 9.333 m/s

答え

v′₂ = 9.333 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 11.2 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(16 + 16) = 11.2 N·s

答え

J = 11.2 N·s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.9621 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(270/2.1) = 11.34 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 11.34·√(0.11² − 0.07²) = 0.9621 m/s

答え

v = 0.9621 m/s

14.ばねと振り子

答え: U = 0.15 J

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·30·0.13² = 0.2535 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·30·0.1² = 0.15 J

答え

U = 0.15 J

15.波・音・光学

答え: m = −0.3333

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/20

d_i = 6.667 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −6.667/20 = −0.3333

答え

m = −0.3333

16.波・音・光学

答え: f″ = 28096 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 20)/343 = 26458 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 28096 Hz

答え

f″ = 28096 Hz

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