物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 29 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、6 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 29 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 1.5 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 1.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 35° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 35°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 6.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 6.5 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s で打ち出し、55 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 34 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 28 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 90 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.6、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 90 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 2 kg のボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 7 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 2 kgr = 0.9 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 200 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.15 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.15 kgk = 200 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 5.2 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 2 kgh = 5.2 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 13 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 2 kgh = 13 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 20° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 1 kgL = 1.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 300 N/m のばねにつけた質量 1 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 4 cm で振動する。つり合いの位置から 2 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1 kgk = 300 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 70 N/m のばねにつけた質量 1.1 kg の物体を、つり合いの位置から 15 cm 引いて静かに放す。最大の速さ v_max を求めよ。

m = 1.1 kgk = 70 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、45° を超えるすべての入射角で、アクリル（n = 1.49）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 45°n₂ = 1.49

n₁ =

16.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.08 mm の単スリットを通ります。直進方向から測った 1 番目の暗線の角度 θ₁ を求めてください。

λ = 600 nma = 0.08 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 280.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/6 = 9.667 s

距離

d = v·t = 29·9.667 = 280.3 m

答え

d = 280.3 m

その瞬間、パトカーは 2v = 58 m/s で走っています。

2.運動学

答え: d = 10.59 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(1.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 514.5 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·514.5))/(2·4.905) = 1.469 s

深さ

d = ½·9.81·1.469² = 10.59 m

答え

d = 10.59 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.627 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0) = 5.627 m/s²

答え

a = 5.627 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 4.764 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·4.434) = 4.764 m

答え

d = 4.764 m

5.放物運動

答え: θ = 13.91 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/34² = 0.4667

位相角

2θ = 27.82° → θ = 13.91°

答え

θ = 13.91°

もう 1 つの解は 90° − θ = 76.09° です。

6.放物運動

答え: x = 84.27 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 40° = 21.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 40° = 18 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 18·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18 + √(323.9 + 98.1))/9.81 = 3.929 s

水平距離

x = v_x·t = 21.45·3.929 = 84.27 m

答え

x = 84.27 m

7.円運動

答え: v_max = 23.02 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·90) = 23.02 m/s

答え

v_max = 23.02 m/s (82.86 km/h)

8.円運動

答え: T = 128.5 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·7²/0.9 = 19.62 + 108.9 = 128.5 N

答え

T = 128.5 N

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.4349 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·200·0.08² = 0.64 J

高さ

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/1.472 = 0.4349 m

答え

h = 0.4349 m

10.仕事とエネルギー

答え: N = 3.924 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(5.2 − 4) = 23.54 m²/s²

最高点での力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·23.54/2 − 19.62 = 3.924 N

答え

N = 3.924 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

11.運動量と衝突

答え: v = 640.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.13) = 1.597 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 2)·1.597/0.005 = 640.4 m/s

答え

v = 640.4 m/s

12.運動量と衝突

答え: v = 76.47 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 20°) = 0.1146 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1146) = 1.499 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.02·1.499/0.02 = 76.47 m/s

答え

v = 76.47 m/s

13.ばねと振り子

答え: v = 0.6 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(300/1) = 17.32 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 17.32·√(0.04² − 0.02²) = 0.6 m/s

答え

v = 0.6 m/s

14.ばねと振り子

答え: v_max = 1.197 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(70/1.1) = 7.977 rad/s

最大の速さ

v_max = A·ω = 0.15·7.977 = 1.197 m/s

答え

v_max = 1.197 m/s

15.波・音・光学

答え: n₁ = 2.107

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.49/0.7071 = 2.107

答え

n₁ = 2.107

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 0.4297 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

暗線の条件

sin θ = mλ/a = 0.0075

θ = 0.4297°

答え

θ₁ = 0.4297°

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