物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.8 s で、その後、自動車は一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 50 km/ht_r = 0.8 sa = −7 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 2.7 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 2.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 25 kg のそりを、水平から 15° 上向きのロープで、180 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 25 kgF = 180 Nθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 10 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 20 m/s、水平から 40° 上向きに、8 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 20 m/sθ = 40°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 35 m のがけの上から、ボールを 23 m/s、水平から 25° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.円運動ふつう

車が半径 125 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.3、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 125 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

質量 0.9 kg のボールを長さ 1.3 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 8.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 0.9 kgr = 1.3 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg の小球が長さ 3 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 60° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 5 kgL = 3 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 8 kg のブロックが 30° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 85 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.2 である。ブロックが斜面を 6 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 8 kgF = 85 Nθ = 30°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 3 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 4.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 900 kg の自動車が、駐車中の質量 1300 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 23.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.7 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 900 kgm₂ = 1300 kgd = 23.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 1.4 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 1.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 270 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 8 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 7 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 270 N/mA = 8 cmx = 7 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

400 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 300 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 24.89 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 13.89·0.8 = 11.11 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m

合計

d = 11.11 + 13.78 = 24.89 m

答え

d = 24.89 m

2.運動学

答え: d = 33.24 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 926.1 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·926.1))/(2·4.905) = 2.603 s

深さ

d = ½·9.81·2.603² = 33.24 m

答え

d = 33.24 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.968 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 180·sin 15° = 198.7 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 173.9 − 49.67

a = 124.2/25 = 4.968 m/s²

答え

a = 4.968 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.543 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 0)/13.5 = 2.543 m/s²

答え

a = 2.543 m/s²

5.放物運動

答え: y = 5.375 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 20·cos 40° = 15.32 m/s

t = x/v_x = 8/15.32 = 0.5222 s

その時刻での高さ

y = 12.86·0.5222 − ½·9.81·0.5222² = 5.375 m

答え

y = 5.375 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: H = 39.82 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 23·sin 25° = 9.72 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 9.72²/(2·9.81) = 4.816 m

地面からの高さ

H = 35 + 4.816 = 39.82 m

答え

H = 39.82 m

7.円運動

答え: v_max = 19.18 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·125) = 19.18 m/s

答え

v_max = 19.18 m/s (69.05 km/h)

8.円運動

答え: T = 58.85 N

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.9·9.81 + 0.9·8.5²/1.3 = 8.829 + 50.02 = 58.85 N

答え

T = 58.85 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 98.1 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 60°) = 29.43 m²/s²

最下点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·29.43/3 = 98.1 N

答え

T = 98.1 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 98.1 N。

10.仕事とエネルギー

答え: v = 6.946 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 39.24 N

μ·mg·cos θ = 13.59 N

仕事とエネルギー

½mv² = (85 − 52.83)·6 = 193 J

v = √(2·193/8) = 6.946 m/s

答え

v = 6.946 m/s

11.運動量と衝突

答え: v = 346 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·0.7672/0.01 = 346 m/s

答え

v = 346 m/s

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 43.91 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·23.5) = 17.97 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·17.97/900 = 43.91 m/s

答え

v₁ = 43.91 m/s

(158.1 km/h)

13.ばねと振り子

答え: T = 2.374 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(1.4/9.81) = 2.374 s

答え

T = 2.374 s

14.ばねと振り子

答え: U = 0.6615 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·270·0.08² = 0.864 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·270·0.07² = 0.6615 J

答え

U = 0.6615 J

15.波・音・光学

答え: f′ = 424.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 424.8 Hz

答え

f′ = 424.8 Hz

16.波・音・光学

答え: θ₁ = 10.95 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/300 mm = 3.333 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(3.333 × 10⁻⁶) = 0.1899

θ = 10.95°

答え

θ₁ = 10.95°

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