物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 250 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 2200 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 250 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 4 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 4 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 36 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

長さ 2 m の糸につけた小球が、糸が鉛直と一定の角度 15° をなすように水平な円運動をしている（円すい振り子）。g = 9.81 m/s² とする。 1 回転にかかる時間 T を求めよ。

L = 2 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

T = s

8.円運動むずかしい

質量 1.6 kg のボールを長さ 1.5 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さは 3.5 m/s である。g = 9.81 m/s² とする。最下点での糸の張力 T を求めよ。

m = 1.6 kgr = 1.5 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 2 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 45° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 2 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.仕事とエネルギーむずかしい

15° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 5 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 15°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 27 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 27 m/sv_out = 19 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.6 m の単振り子の小さな振れの周期が 2.67 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.6 mT = 2.67 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

k = 80 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 19 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 10 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 80 N/mA = 19 cmx = 10 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

1000 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、15 m/s で遠ざかる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.096 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·2200) = 1.096 m/s²

答え

a = 1.096 m/s²

2.運動学

答え: t = 3.799 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (16 + √(16² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.799 s

答え

t = 3.799 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.203 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答え

a = 5.203 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.78 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 25.02)/13.5 = 1.78 m/s²

答え

a = 1.78 m/s²

5.放物運動

答え: H = 21.73 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 35° = 29.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 35° = 20.65 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 20.65²/(2·9.81) = 21.73 m

答え

H = 21.73 m

6.放物運動

答え: t = 5.215 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 60° = 12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 60° = 20.78 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 20.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.78 + √(432 + 490.5))/9.81 = 5.215 s

答え

t = 5.215 s

7.円運動

答え: T = 2.788 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

円の半径

r = L·sin θ = 2·sin 15° = 0.5176 m

速さ

張力と重力を合わせると内向きの力になります：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5176·9.81·tan 15°) = 1.166 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.5176/1.166 = 2.788 s

答え

T = 2.788 s

8.円運動

答え: T = 28.76 N

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最下点での力

中心向き（上向き）を正とします。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·3.5²/1.5 = 15.7 + 13.07 = 28.76 N

答え

T = 28.76 N

9.仕事とエネルギー

答え: T = 15.56 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 45°) = 11.49 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·11.49/2 = 15.56 N

答え

T = 15.56 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 15.56 N。

10.仕事とエネルギー

答え: d = 1.936 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·3000·0.15² = 33.75 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33.75/(49.05·(0.2588 + 0.1·0.9659)) = 1.936 m

答え

d = 1.936 m

11.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.2727 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 3)/(2.5 + 3)·3 = −0.2727 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 3)·3 = 2.727 m/s

答え

v′₁ = −0.2727 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 1012 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(19 + 27) = 25.3 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 25.3/0.025 = 1012 N

答え

F_avg = 1012 N

13.ばねと振り子

答え: g = 8.86 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.6/2.67² = 8.86 m/s²

答え

g = 8.86 m/s²

14.ばねと振り子

答え: U = 0.4 J

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·80·0.19² = 1.444 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·80·0.1² = 0.4 J

答え

U = 0.4 J

15.波・音・光学

答え: f′ = 1062 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 1062 Hz

答え

f′ = 1062 Hz

16.波・音・光学

答え: f_b = 2095 Hz

車での振動数

f′ = 25000·(343 − 15)/343 = 23907 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 15) = 22905 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 2095 Hz

答え

f_b = 2095 Hz

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