物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が静止状態から滑走路に沿って 2.75 m/s² で一様に加速する。1800 m 進んだ後の速さ v を求めよ。

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.2 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 7 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 7 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 20 m/s で打ち出し、20 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 20 m/sR = 20 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 140 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 140 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 100 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 100 mθ = 18°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 3 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 1.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 1 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

質量 20 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 7 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 9 m/s で走る質量 900 kg の自動車が、北向きに 18 m/s で走る質量 1500 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 900 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

長さ 3 m の単振り子がある。g = 9.81 m/s² とする。小さな振れ幅での周期 T を求めよ。

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 390 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 16 cm で振動する。おもりがつり合いの位置から 5 cm のところにあるときにばねに蓄えられているエネルギー U を求めよ。

k = 390 N/mA = 16 cmx = 5 cm

U = J

15.波・音・光学ふつう

1000 Hz の音源が、静止している観測者に向かって 30 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 20 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: v = 99.5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

その距離を進んだ後の速さ

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·1800) = 99.5 m/s

答え

v = 99.5 m/s

(358.2 km/h)

2.運動学

答え: d = 77.47 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1441))/(2·4.905) = 3.974 s

深さ

d = ½·9.81·3.974² = 77.47 m

答え

d = 77.47 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.972 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答え

a = 1.972 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 3.586 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·6.832) = 3.586 m

答え

d = 3.586 m

5.放物運動

答え: θ = 14.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·20/20² = 0.4905

位相角

2θ = 29.37° → θ = 14.69°

答え

θ = 14.69°

もう 1 つの解は 90° − θ = 75.31° です。

6.放物運動

答え: x = 130.9 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 20.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.57 + √(423.1 + 588.6))/9.81 = 5.339 s

水平距離

x = v_x·t = 24.51·5.339 = 130.9 m

答え

x = 130.9 m

7.円運動

答え: v_max = 26.2 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·140) = 26.2 m/s

答え

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 8.245 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(100·9.81·0.07125/1.028) = 8.245 m/s

答え

v_min = 8.245 m/s

(29.68 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: W_f = 56.36 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.25·75.15 = 18.79 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 18.79·3 = 56.36 J

答え

W_f = 56.36 J

10.仕事とエネルギー

答え: x = 5.537 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.25·1.5) = 3.066 J

最大縮み

½kx² = 3.066 → x = √(2·3.066/2000) = 0.05537 m = 5.537 cm

答え

x = 5.537 cm

11.運動量と衝突

答え: v = 147.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·1.172/0.02 = 147.7 m/s

答え

v = 147.7 m/s

12.運動量と衝突

答え: v′ = 11.75 m/s

運動量の成分

p_x = 900·9 = 8100 kg·m/s

p_y = 1500·18 = 27000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28189/2400 = 11.75 m/s

答え

v′ = 11.75 m/s

13.ばねと振り子

答え: T = 3.475 s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

振り子の周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答え

T = 3.475 s

14.ばねと振り子

答え: U = 0.4875 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·390·0.16² = 4.992 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·390·0.05² = 0.4875 J

答え

U = 0.4875 J

15.波・音・光学

答え: f′ = 1096 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 1096 Hz

答え

f′ = 1096 Hz

16.波・音・光学

答え: f″ = 23145 Hz

車での振動数

f′ = 20000·(343 + 25)/343 = 21458 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 23145 Hz

答え

f″ = 23145 Hz

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