物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 9 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 17 kg のブロックが、水平と 30° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 17 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 38 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

車が半径 105 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.5、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 105 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

半径 290 m のカーブに 18° のバンクがついており、タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。自動車がバンクを下にすべり落ちずにカーブを通過できる最低の速さ v_min を求めよ。

r = 290 mθ = 18°μ_s = 0.25g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 800 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.2 kg のボールをその上に置き、ばねを 6 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.2 kgk = 800 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.運動量と衝突ふつう

9 m/s で動いている質量 1400 kg の自動車が、静止している質量 700 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m₁ = 1400 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.運動量と衝突むずかしい

質量 800 kg の自動車が、駐車中の質量 1000 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 14 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 800 kgm₂ = 1000 kgd = 14 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.ばねと振り子ふつう

k = 260 N/m のばねにつけた質量 1.9 kg のおもりが、摩擦のない面上で振幅 11 cm で振動する。つり合いの位置から 6 cm のところでの速さ v を求めよ。

m = 1.9 kgk = 260 N/mA = 11 cmx = 6 cm

v = m/s

14.ばねと振り子むずかしい

k = 50 N/m のばねにつけた質量 1.5 kg の物体を、つり合いの位置から 2 cm 引いて静かに放す。振動の全エネルギー E を求めよ。

m = 1.5 kgk = 50 N/mA = 2 cm

E = J

15.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 0.65 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.54 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.55n₂ = 1.54

NA =

3溶液

1.運動学

答え: s = 17.36 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

答え

s = 17.36 m

2.運動学

答え: t = 3.917 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.917 s

答え

t = 3.917 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.905 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答え

a = 4.905 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.886 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 1.962)/3 = 5.886 m/s²

答え

a = 5.886 m/s²

5.放物運動

答え: t = 4.98 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 40° = 29.11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 40° = 24.43 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·24.43/9.81 = 4.98 s

答え

t = 4.98 s

6.放物運動

答え: x = 49.61 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12.26 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 12.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.26 + √(150.2 + 1079))/9.81 = 4.823 s

水平距離

x = v_x·t = 10.28·4.823 = 49.61 m

答え

x = 49.61 m

7.円運動

答え: v_max = 22.69 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·105) = 22.69 m/s

答え

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 14.04 m/s

力のつり合い

摩擦は斜面を上る向きです。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速さ

v = √(290·9.81·0.07125/1.028) = 14.04 m/s

答え

v_min = 14.04 m/s

(50.54 km/h)

9.仕事とエネルギー

答え: h = 0.7339 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·800·0.06² = 1.44 J

高さ

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.44/1.962 = 0.7339 m

答え

h = 0.7339 m

10.仕事とエネルギー

答え: v = 5.241 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.1·1) = 13.73 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.4) = 5.241 m/s

答え

v = 5.241 m/s

11.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 33.33 %

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·9/2100 = 6 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1400·9² = 56700 J

K_after = ½·2100·6² = 37800 J

失われた割合

ΔK/K = 18900/56700 = 33.33 %

答え

ΔK/K = 33.33 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

12.運動量と衝突

答え: v₁ = 32.29 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·14) = 14.35 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·14.35/800 = 32.29 m/s

答え

v₁ = 32.29 m/s

(116.3 km/h)

13.ばねと振り子

答え: v = 1.078 m/s

単振動：ばね定数 k のばねにつけた質量 m の物体は、角振動数 ω = √(k/m)、周期 T = 2π/ω = 2π·√(m/k) で振動します。長さ L の単振り子の周期は T = 2π·√(L/g) です。振幅を A とすると、最大の速さは A·ω、最大の加速度は A·ω²、エネルギーは ½·k·A² です。

角周波数

ω = √(260/1.9) = 11.7 rad/s

x での速さ

v = ω·√(A² − x²) = 11.7·√(0.11² − 0.06²) = 1.078 m/s

答え

v = 1.078 m/s

14.ばねと振り子

答え: E = 0.01 J

角周波数

ω = √(50/1.5) = 5.774 rad/s

エネルギー

E = ½·k·A² = ½·50·0.02² = 0.01 J

答え

E = 0.01 J

15.波・音・光学

答え: f₅ = 659.6 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·0.65/5 = 0.52 m

振動数

f = v/λ = 343/0.52 = 659.6 Hz

答え

f₅ = 659.6 Hz

16.波・音・光学

答え: NA = 0.1758

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.54/1.55 = 0.9935 → θc = 83.49°

開口数

NA = √(1.55² − 1.54²) = 0.1758

答え

NA = 0.1758

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics