物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

50 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 3 s の間、一定の上向きの加速度 20 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち上げから地面に落ちるまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

a = 20 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、75 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 75 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 25 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.円運動ふつう

半径 380 m のカーブに 25° のバンク（傾斜）がついている。摩擦をまったく必要とせずに自動車が通過できる速さ v はいくらか。g = 9.81 m/s² とする。

r = 380 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.円運動むずかしい

ボールを長さ 0.9 m の糸につけ、鉛直面内で円運動させる。g = 9.81 m/s² とする。最高点で糸がたるまずに張ったままでいられる最小の速さ v_min を求めよ。

r = 0.9 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。斜面に沿って 18 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.4d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 5 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 26 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 26 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.ばねと振り子ふつう

別の惑星にいる宇宙飛行士が、長さ 1.9 m の単振り子の小さな振れの周期が 6.8 s であることを見いだす。その惑星の重力加速度 g を求めよ。

L = 1.9 mT = 6.8 s

g = m/s²

14.ばねと振り子むずかしい

ある物体が周期 2.5 s、振幅 5 cm で単振動をしている。最大変位 5 cm から変位 1.25 cm まで動くのに必要な最短時間 t はどれだけか。

T = 2.5 sA = 5 cmx = 1.25 cm

t = s

15.波・音・光学ふつう

高さ 5 cm の物体が、焦点距離 12 cm の薄い収束レンズの 40 cm 前にあります。像の高さ h_i を求めてください（倒立像では負）。

h_o = 5 cmd_o = 40 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凸面鏡の 15 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 15 cmR = 20 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: t = 2.525 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13.89/5.5 = 2.525 s

答え

t = 2.525 s

2.運動学

答え: t = 16.58 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

動力飛行段階

v₁ = 20·3 = 60 m/s

h₁ = ½·20·3² = 90 m

地面までの自由飛行

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² を正の解について解きます。

t₂ = (60 + √(60² + 2·9.81·90))/9.81 = 13.58 s

t = 3 + 13.58 = 16.58 s

答え

t = 16.58 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.206 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

答え

a = 3.206 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.102 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 2.453)/3.5 = 2.102 m/s²

答え

a = 2.102 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 13.69 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·75/40² = 0.4598

位相角

2θ = 27.38° → θ = 13.69°

答え

θ = 13.69°

もう 1 つの解は 90° − θ = 76.31° です。

6.放物運動

答え: x = 77.26 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 40° = 19.15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 40° = 16.07 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 16.07·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.07 + √(258.2 + 294.3))/9.81 = 4.034 s

水平距離

x = v_x·t = 19.15·4.034 = 77.26 m

答え

x = 77.26 m

7.円運動

答え: v = 41.69 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力のつり合い

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速さ

v = √(r·g·tan θ) = √(380·9.81·tan 25°) = 41.69 m/s

答え

v = 41.69 m/s

(150.1 km/h)

8.円運動

答え: v_min = 2.971 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

最高点で張力が 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.9) = 2.971 m/s

答え

v_min = 2.971 m/s

9.仕事とエネルギー

答え: v = 12.24 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.4·0.7071)) = 12.24 m/s

答え

v = 12.24 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 34.31 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.2·5) = 147.2 J

最大縮み

½kx² = 147.2 → x = √(2·147.2/2500) = 0.3431 m = 34.31 cm

答え

x = 34.31 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 1.636 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·3 = −1.364 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·3 = 1.636 m/s

答え

v′₂ = 1.636 m/s

12.運動量と衝突

答え: F_avg = 360 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(10 + 26) = 9 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9/0.025 = 360 N

答え

F_avg = 360 N

13.ばねと振り子

答え: g = 1.622 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g について解く

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/6.8² = 1.622 m/s²

答え

g = 1.622 m/s²

14.ばねと振り子

答え: t = 0.5245 s

角周波数

ω = 2π/T = 2π/2.5 = 2.513 rad/s

時間について解く

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/2.513 = 0.5245 s

答え

t = 0.5245 s

15.波・音・光学

答え: h_i = −2.143 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/40

d_i = 17.14 cm

倍率と高さ

m = −17.14/40 = −0.4286

h_i = −0.4286·5 = −2.143 cm

答え

h_i = −2.143 cm

16.波・音・光学

答え: m = 0.4

焦点距離

f = −R/2 = −10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/15

d_i = −6 cm

倍率

m = −(−6)/15 = 0.4

答え

m = 0.4

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