物理学 I：力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、16 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

円運動

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
平らなカーブ、摩擦: v_max = √(μ·g·r)

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

ばねと振り子

ばね振り子: T = 2π·√(m/k)
単振り子: T = 2π·√(L/g)
角周波数: ω = √(k/m) = 2π/T
最大の速さと最大の加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
エネルギー: E = ½·k·A²

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 27 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、6 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 27 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 9 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 30° 上向きに、30 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 30°x = 30 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.円運動ふつう

車が半径 75 m の平らなカーブを曲がる。タイヤと路面の間の静止摩擦係数は 0.7、g = 9.81 m/s² とする。車が横すべりせずにカーブを曲がれる最大の速さ v_max を求めよ。

r = 75 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.円運動むずかしい

長さ 0.6 m の軽い糸につけた質量 0.8 kg の球を鉛直な円を描くように回す。最下点での速さは 8.5 m/s である。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。最高点での糸の張力 T_top を求めよ。

m = 0.8 kgr = 0.6 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 20° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 13 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 20°μ = 0.2d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 5 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.15k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 2.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 12 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 12 m/sv_out = 8 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.ばねと振り子ふつう

k = 250 N/m のばねにつけた質量 2.6 kg のおもりを正の向きに 6 cm 引き、t = 0 に静かに放す。 t = 0.6 s でのつり合いの位置からの変位 x を符号をつけて求めよ。

m = 2.6 kgk = 250 N/mA = 6 cmt = 0.6 s

x = cm

14.ばねと振り子むずかしい

k = 40 N/m のばねにつけたおもりが、摩擦のない面上で振幅 14 cm で振動する。つり合いの位置から 3 cm のところでの運動エネルギー K を求めよ。

k = 40 N/mA = 14 cmx = 3 cm

K = J

15.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 1.5 m で、その上を波が 120 m/s で伝わります。その第 3 倍音の振動数 f₃ を求めてください。

v = 120 m/sn = 3L = 1.5 m

f₃ = Hz

16.波・音・光学むずかしい

波長 532 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 3 m 先にあります。中央の明線から 4 番目の明線までの距離 y₄ を求めてください。

λ = 532 nmd = 0.1 mmL = 3 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.運動学

答え: d = 243 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/6 = 9 s

距離

d = v·t = 27·9 = 243 m

答え

d = 243 m

その瞬間、パトカーは 2v = 54 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 5.387 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·40))/9.81 = 5.387 s

答え

t = 5.387 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 6.622 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 4.414)/6 = 6.622 m/s²

答え

a = 6.622 m/s²

5.放物運動

答え: y = 5.159 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 22·cos 30° = 19.05 m/s

t = x/v_x = 30/19.05 = 1.575 s

その時刻での高さ

y = 11·1.575 − ½·9.81·1.575² = 5.159 m

答え

y = 5.159 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: t = 4.36 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 40° = 14.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 40° = 12.21 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 12.21·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.21 + √(149.2 + 784.8))/9.81 = 4.36 s

答え

t = 4.36 s

7.円運動

答え: v_max = 22.69 m/s

等速円運動：半径 r の円周上を速さ v で動く物体は、中心向きに a = v²/r の加速度をもつので、中心向きの合力 F = m·v²/r が必要です。この力は、摩擦力、張力、重力、垂直抗力など、実際にはたらく力によって与えられます。

摩擦力が向心力になる

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·75) = 22.69 m/s

答え

v_max = 22.69 m/s (81.7 km/h)

8.円運動

答え: T_top = 57.09 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

最高点での速さ

高さ 2r の間に運動エネルギーが位置エネルギーに変わります。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·0.6 = 48.71 m²/s²

最高点での力

張力と重力はどちらも下向き、つまり中心に向かっています。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·48.71/0.6 − 0.8·9.81 = 57.09 N

答え

T_top = 57.09 N

9.仕事とエネルギー

答え: v = 6.269 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.342 − 0.2·0.9397)) = 6.269 m/s

答え

v = 6.269 m/s

10.仕事とエネルギー

答え: x = 48.69 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4 − 0.15·2.5) = 177.8 J

最大縮み

½kx² = 177.8 → x = √(2·177.8/1500) = 0.4869 m = 48.69 cm

答え

x = 48.69 cm

11.運動量と衝突

答え: v′₂ = 6 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (2.5 − 5)/(2.5 + 5)·9 = −3 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 5)·9 = 6 m/s

答え

v′₂ = 6 m/s

12.運動量と衝突

答え: J = 10 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(8 + 12) = 10 N·s

答え

J = 10 N·s

13.ばねと振り子

答え: x = 5.527 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角周波数

ω = √(250/2.6) = 9.806 rad/s

ω·t = 9.806·0.6 = 5.883 rad

変位

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(5.883) = 5.527 cm

答え

x = 5.527 cm

14.ばねと振り子

答え: K = 0.374 J

全エネルギー

E = ½·k·A² = ½·40·0.14² = 0.392 J

x でのばねのエネルギー

U = ½·k·x² = ½·40·0.03² = 0.018 J

運動エネルギー

K = 0.392 − 0.018 = 0.374 J

答え

K = 0.374 J

15.波・音・光学

答え: f₃ = 120 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.5/3 = 1 m

振動数

f = v/λ = 120/1 = 120 Hz

答え

f₃ = 120 Hz

16.波・音・光学

答え: y₄ = 63.84 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·3/(0.1 × 10⁻³) = 15.96 mm

4 番目の縞

y₄ = 4·15.96 = 63.84 mm

答え

y₄ = 63.84 mm

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